Cómo calcular la integral de $\int_0^\sqrt[3]4\!\sqrt\frac{x}{4-x^{3/2}}\,\mathrm{d}x$

Question

Dada la siguiente integral:

$$\int_0^\sqrt[3]4\!\sqrt\frac{x}{4-x^{3/2}}\,\mathrm{d}x$$

¿Cómo resolverlo? Pensé que sería posible sustituirlo, pero no encontré nada que sustituir. Intenté resolverlo con Maple, pero el CAS no lo consiguió por lo tanto no sé cómo seguir con esto. ¿Me podéis dar alguna pista?

Answer 1

Creo que merece la pena mencionar el caso de la integración de los binomios diferenciales.

La expresión de la forma

$$x^m(a+bx^n)^pdx$$ donde $m,n,p,a,b$ son constantes se denomina binomio diferencial.

TEOREMA . (Piskunov)

La integral

$$\int x^m(a+bx^n)^pdx$$

puede reducirse si $m,n,p$ son números racionales, a la integral de una función racional, y por tanto pueden expresarse en términos de funciones elementales si:

$1.$ $p$ es un número entero.

$2.$ $\dfrac{m+1}{n}$ es un número entero.

$3.$ $\dfrac{m+1}{n}+p$ es un número entero.

PRUEBA

Transformamos la integral escribiendo $x^n = z$ así que $dx = \frac 1 n z^{\frac 1 n -1}$ . Entonces:

$$\int {{x^m}} {(a + b{x^n})^p}dx = \int {{z^{{{m + 1} \over n} - 1}}} {(a + bz)^p}dz = \int {{z^q}} {(a + bz)^p}dz$$

$1.$ Sea $p$ sea un número entero. Siendo $q$ un número racional, sea $\dfrac r s$ . Esta integral adopta entonces la forma $$\int {R\left( {{z^{q/s}},z} \right)dz} $$

que puede reducirse sustituyendo $z=t^s$ .

$2.$ Si $\dfrac{m+1}{n}$ es un número entero, entonces $q=\dfrac{m+1}{n}-1$ es un número entero. $p$ es racional $=\dfrac \lambda \mu$ . La integral se reduce a $$\int {R\left( {{z^q},{{\left( {a + bz} \right)}^{{\lambda \over \mu }}}} \right)dz} $$ que puede reducirse sustituyendo $a+bz=t^\mu$

$3.$ Si $\dfrac{m+1}{n}+p$ es un número entero, entonces $\dfrac{m+1}{n}+p-1=q+p$ es un número entero. Transformamos la integral en

$$\int {{z^{q + p}}{{\left( {{{a + bz} \over z}} \right)}^p}dz} $$

donde $q+p$ es un número entero y $p=\dfrac \lambda \mu$ es racional. La integral es entonces

$$\int {R\left[ {z,{{\left( {{{a + bz} \over z}} \right)}^{{\lambda \over \mu }}}} \right]dz} $$

que puede reducirse utilizando

$${{a + bz} \over z} = {t^\mu }$$

Nota. P.L. Chebyshev, matemático ruso, demostró que las integrales que acabamos de analizar no pueden expresarse en términos de funciones elementales si no es así $1$ , $2$ o $3$ .

Answer 2

$$\int\sqrt{\frac{x}{4-x^{3/2}}}\,\mathrm dx = -\frac{4\sqrt{x}}{3\sqrt{-\frac{x}{x^{3/2}-4}}}+\mathrm{constant}$$

donde encontrará los pasos de la integración aquí haciendo clic en el botón "Mostrar pasos" situado junto al resultado.

En su caso particular $x\geq 0$ sobre todo el dominio de integración de forma que podamos simplificar a

$$-\frac{4}{3}\sqrt{4-x^{3/2}}$$

evaluando en $x=0$ y $x=4^{1/3}$ da el resultado

$$\int_0^{4^{1/3}}\sqrt{\frac{x}{4-x^{3/2}}}\,\mathrm dx = \frac{4}{3} (2-\sqrt{2})$$