Problema con la definición del límite (¿por qué no un gran delta?)

Question

He estado pensando en esto un poco y no puedo quitarme el problema.

Estoy seguro de que todos conocemos la definición, pero la escribiré aquí:

$$ \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0: \forall x \in D \; \text{that satisfy} \; 0 < \vert{x-c}\vert < \delta \; \text{the inequality} \; \vert f(x) - L\vert < \epsilon \; \text{holds}. $$

Ahora bien, cada vez que la gente resuelve los límites utilizando la definición, siempre sigue un "me das un $\epsilon$ barrio de L y te daré una $\delta$ vecindad alrededor de c que se ajusta a la preimagen de la $\epsilon$ barrio".

Mi pregunta es por qué el $\delta$ vecindario se ajustan necesariamente a la imagen previa del $\epsilon$ ¿barrio?

Cuando pienso intuitivamente en los límites, me gustaría que la definición fuera algo así: "A medida que cojo una cantidad cada vez más pequeña $\epsilon$ barrio alrededor de L, si puedo encontrar un $\delta$ alrededor de c que contiene la preimagen del $\epsilon$ barrio, entonces $\lim_{x \to c} \ f(x) = L$ ."

Pero no veo eso en la definición estándar porque ¿por qué no puedo tomar una $\delta$ ¿un barrio que es arbitrariamente grande?

Por ejemplo, si estoy considerando

$$\lim_{x \to 2} 2x$$

¿Por qué no pongo $\delta$ = 1.000.000 o algo grande si $\epsilon$ = 1 ? y si episolon es dos millones entonces pongo delta a mil millones o lo que sea?

Si establezco un delta arbitrariamente grande, ¿no estaría satisfaciendo $0 < \vert{x-c}\vert < \delta \; \text{such that the inequality} \; \vert f(x) - L\vert < \epsilon \; \text{holds} $ ?

¡No puedo entenderlo! Gracias.

Answer 1

En efecto, usted no quiere que el $\delta$ -Vecindario para ajustarse a la perfección alrededor de la preimagen del $\epsilon$ -Vecindario. Más bien, usted quiere que el $\delta$ -Vecindario para ajustarse a la perfección dentro de la preimagen del $\epsilon$ -Vecindario. Por eso hay que elegir $\delta$ sea pequeño, ya que la preimagen del $\epsilon$ -(Como se ha señalado en los comentarios, de hecho, no es necesario que encaje "perfectamente" dentro de la preimagen - no hay nada malo en hacer el $\delta$ -vecindario aún más pequeño de lo necesario).

Compruebe esto con la definición formal: necesita $\delta$ tal que para todo $x$ con $0<|x-c|<\delta$ , $|f(x)-L|<\epsilon$ . Esto significa que para cada punto $x$ en el $\delta$ -Vecindario (excepto $x=c$ ), $f(x)$ está en el $\epsilon$ -Vecindario. Eso es, $x$ está en la preimagen del $\epsilon$ -Vecindario.

Answer 2

La respuesta de Eric es excelente. Aquí hay otra forma de verlo:

Tener un delta realmente grande es en realidad una declaración más fuerte que un delta pequeño. Por ejemplo, si dejas que delta sea mil millones, estás diciendo "Todos los puntos dentro de una distancia de mil millones de unidades de $x$ están en la vecindad épsilon de $f(x)$ "que es más fuerte que decir, por ejemplo, "Todos los puntos a una distancia de una unidad de $x$ están en la vecindad épsilon de $f(x)$ ."

Answer 3

Parece que está afirmando lo siguiente (suponiendo que estemos de acuerdo en que $\lim_{x\to2}2x=4$ ):

Para todos $x$ que satisfagan $|x-2|<1,000,000$ la desigualdad $|2x-4|<1$ se mantiene.

Pero eso no es cierto, porque el 42 es un contraejemplo, ya que $|42-2|=40<1,000,000$ pero $|2\cdot42-4|=80\ge1$ .

(Por supuesto que no afirmas eso realmente, sólo lo has entendido mal).

Answer 4

La razón por la que no utilizamos valores masivos de delta es por el escalado. A medida que se acercan dos puntos, la tasa de cambio instantánea se acerca al cambio real entre los puntos. Esa es la naturaleza de la derivada. Los límites se calculan manualmente eligiendo el valor que más probablemente sigue en la aproximación lineal de una secuencia de puntos conocidos. Por lo tanto, queremos que la secuencia esté lo más cerca posible de una línea. Cuanto más se aproxime la recta a esa región de la gráfica, menor será el error.

Por supuesto, esto se refiere simplemente a una método de calcular el límite. El límite real no importa. Mientras la gráfica sea continua en la región, el límite puede acercarse a lo largo de toda esa gráfica.

Por supuesto, la otra razón es simplemente la falta de intuición. Nos encontramos con que el valor se aproxima mirando a la región que lo rodea. Tiene sentido mirar sólo a la región que lo rodea inmediatamente. No nos alejamos 16 kilómetros para intentar aproximarnos al tamaño de una pequeña colina que no podemos medir directamente. Lo mismo ocurre con los límites. Queremos la región más pequeña posible que podamos manejar, porque es más fácil .

Sin embargo, en general, su pregunta tiene un problema simple en su concepción. El límite es una operación que existe únicamente como tal. La definición de épsilon delta no es más que un intento de implementar o crear un método para encontrar el límite. Así que en realidad, lo que tienes que preguntarte es lo siguiente:

1. ¿Cuándo voy a utilizar este método para encontrar un límite? (después de todo, algunos se conocerán por observación)

2. ¿Por qué es útil el método?

Parte del método consiste en utilizar valores pequeños cercanos al valor que se busca. La razón es que la región parece estar cerca de ser lineal. Parte del método consiste en rechazar todo del método.

Tu error es que no entiendes el sentido de la notación épsilon delta. El sentido de la misma es formalizar un límite, y también crear un método de aproximación de valores. Por lo tanto, esa aproximación debe ser fácil, y eso es lo que hace.