Encontrar el estimador de Bayes de $\theta$

Question

Tengo este ejercicio, que estoy tratando de trabajar a partir de un ejemplo, pero el ejemplo parece muy diferente, así que no estoy seguro de si lo que realmente estoy haciendo.

• Tengo una distribución de pérdidas para $\theta$ : $l(a,\theta)=\frac{(a-\theta)^2}{\theta(1-\theta)}$
• También conozco la distribución a priori $\pi(\theta)$ se distribuye uniformemente (continua) de 0 a 1.
• La función de verosimilitud es Bernoulli, X es el número total de unos en una secuencia de n ensayos Bernoulli independientes cada uno con espacio muestral {0,1} así que $f(x|\theta) = \theta^x(1-\theta)^{1-x}$ , $x=0,1$

¿Cómo puedo encontrar el estimador de Bayes de $\theta$ ?

Hasta ahora, esto es lo que he probado:

$h(a,\theta)=E[l(a,\theta)]$

$h(a,\theta)=\int_0^1l(a, \theta)\pi(\theta|x)d\theta$

$h(a,\theta)=\int_0^1\frac{(a-\theta)^2}{\theta(1-\theta)}\frac{\Gamma{(3)}}{\Gamma{(x+1)}\Gamma{(2-x)}}{\theta^x(1-\theta)^{1-x}}d\theta$

$h(a,\theta)=\frac{\Gamma{(3)}}{\Gamma{(x+1)}\Gamma{(2-x)}}\int_0^1(a-\theta)^2{\theta^{x-1}(1-\theta)^{-x}}d\theta$

No estoy seguro de a dónde ir desde aquí

Answer 1

Una pista: querrá minimizar $$ E[l(a, \theta)]=\int_0^1l(a, \theta)\pi(\theta|x)d\theta. $$

Edita:

En el enunciado del problema se dice que cada es Bernoulli. Supongo que esto significa que cada ensayo es Bernoulli y que tenemos $n$ tales ensayos. También dejo que $y=\sum_{i=1}^nx_i$ sea la suma de éstos.

Entonces, la derivada es proporcional a (como la ponemos a 0, no importa)

$$ \frac{d}{da}\int (a-\theta)^2\theta^{y-1}(1-\theta)^{n-y-1}d\theta=2\int(a-\theta)\theta^{y-1}(1-\theta)^{n-y-1}d\theta=0 $$ y moviendo las cosas obtenemos $$ a\int\theta^{y-1}(1-\theta)^{n-y-1}d\theta=\int\theta^{y}(1-\theta)^{n-y-1}d\theta $$ donde las integrales se asemejan a densidades Beta, por lo que las manipulamos para obtener $$ a\frac{\Gamma(y)\Gamma(n-y)}{\Gamma(n)}\int\frac{\Gamma(n)}{\Gamma(y)\Gamma(n-y)}\theta^{y-1}(1-\theta)^{n-y-1}d\theta=\frac{\Gamma(y+1)\Gamma(n-y)}{\Gamma(n+1)}\int\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(y+1)\Gamma(n-y)}\theta^{y}(1-\theta)^{n-y-1}d\theta\\ a=\frac{\Gamma(y+1)\Gamma(n-y)}{\Gamma(n+1)}\frac{\Gamma(n)}{\Gamma(y)\Gamma(n-y)}=\frac{y}{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i $$

Con su función de pérdida, este es el estimador de Bayes.