En varios contextos, me he encontrado con resultados denominados "gran monodromía". Un ejemplo aritmético estándar es el teorema de la imagen abierta para la imagen de la acción de Galois en curvas elípticas no CM. Una configuración general para tal resultado en geometría algebraica es:
Dado un mapa propio, genéricamente suave $\pi:X \rightarrow S$ de dimensión relativa d, digamos que S es conexo. Esto da lugar a una $l$ -representaciones ádicas del grupo fundamental etale $\pi_1(U)$ donde $U$ es el lugar liso de $\pi$ correspondiente a un mayor pushforward $R^d \pi_* Q_l$ . Se puede decir que tiene "gran monodromía" si el cierre de Zariski de la imagen es tan grande como puede ser dado que tiene que respetar el producto taza, etc.
Mi pregunta concreta es ¿cuáles son las consecuencias geométricas de la gran monodromía? Si conocemos tal resultado para $\pi$ ¿Qué dice esto sobre la geometría de la fibración o, al menos, existe una intuición geométrica de lo que debería significar?
Agradezco las intuiciones procedentes de la teoría de números, la geometría algebraica o la geometría compleja.
También he oído que "hay que esperar una gran monodromía a menos que haya una razón para no hacerlo" (por ejemplo, la multiplicación compleja). ¿Cuáles son otros ejemplos de cosas que inhiben la gran monodromía?
