Integral convergente impropia con singularidad interior

Question

Para $a$ y $b$ números reales, $a<b$ Estoy buscando un ejemplo de una función $f(x)$ que tiene una discontinuidad infinita en algún $c$ satisfaciendo $a<c<b$ (es decir $c$ está en el interior del dominio de integración) y tal que

$$\int_a^bf(x)dx$$

es finito. Intenté $\int_{-1}^{1}\frac{e^x}{e^x-1}$ pero no funcionó (la integral diverge). Gracias.

Answer 1

Ambos límites, derecho e izquierdo, en $0$ yendo a $-\infty$ :

$$\int_{-1}^{1} \ln (|x|) dx=2$$

Uno va a $\infty$ y otro a $-\infty$ :

$$\int_{-1}^{1} \ln (|x|) \text{sgn} (x)dx=0$$

Answer 2

Dos ejemplos más:

$$\int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt[4]{x^2}}\,\text{d}x = \int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{|x|}}\,\text{d}x = 4$$ es finito, pero tiene una discontinuidad infinita en $x=0$ .

$$\int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\,\text{d}x = 6$$ vuelve a tener una discontinuidad infinita en $x=0$ .

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En términos más generales, si $n\in\mathbb{N}$ , $n$ impar, y $m\in\mathbb{N}$ , $m<n$ entonces cualquier integral de la forma $$\int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt[n]{x^m}}\,\text{d}x$$ convergerán, y de hecho, $$\int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt[n]{x^m}}\,\text{d}x = \begin{cases}0 & m \text{ odd}\\ \frac{2n}{n-m} & m\text{ even} \end{cases}$$