¿Cómo demuestro que un número complejo es igual a infinito?

Question

Necesito probar que $z=x+iy$ igual a infinito es equivalente a $x = \infty$ y $y=\infty$ .

También tengo que dar un ejemplo de un número complejo $z$ para que $\sin(z)=\infty$ .

Answer 1

La función seno es lo que se llama una función entera, así que $\sin z$ es finito para cada número complejo $z$ .

Answer 2

Supongo que se trata de algún tipo de proceso límite. Pero aun así no está claro cómo "fijar" la afirmación de la pregunta a una verdadera. Algunas sugerencias, sobre todo con vistas a señalar posibles escollos a la OP.

Si $t$ es un parámetro real (si prefiere una secuencia, imagine que $t$ es un número natural), entonces $z(t)=e^t(\cos t +i \sin t)$ se acerca a $\infty$ en el sentido de la definición que $|z|=e^t$ supera y se mantiene por encima de cualquier límite predeterminado. Sin embargo, ni el $x(t)=e^t\cos t$ ni lo imaginario $y(t)=e^t\sin t$ parte de $z(t)$ tiende a $+\infty$ o $-\infty$ debido al factor oscilante.

Como dijo Gerry $\sin z$ es un número complejo finito para todo $z$ . Pero $$ \sin (it)=\frac{e^{i^2t}-e^{-i^2t}}{2i}=\frac{e^{-t}}{2i}-\frac{e^t}{2i} $$ tiende al infinito complejo, porque el primer término va a cero, pero el valor absoluto del último término $\to\infty$ como parámetro real $t\to\infty$ . Así que se puede decir que $\sin z$ tiende a $\infty$ cuando $z\to\infty$ a lo largo del eje imaginario.