Encontrar un elemento primitivo para la extensión $Q(3^{1/4}, i)/Q$

Question

Encontrar un elemento primitivo para la extensión $Q(3^{1/4}, i)/Q$

Entonces, estaba suponiendo que el elemento primitivo es $3^{1/4}+i$ y no tengo ningún problema en demostrar que $Q(3^{1/4}+i)$ es un subconjunto de $Q(3^{1/4}, i)$ .

A continuación, tenemos que mostrar $Q(3^{1/4}, i)$ es un subconjunto de $Q(3^{1/4}+i)$ lo que significa que tenemos que mostrar $3^{1/4}\in{Q(3^{1/4}+i)}$ y $i\in{Q(3^{1/4}+i)}$ .

No tengo ni idea de cómo hacerlo. ¿Alguien puede ayudarme con esta pregunta?

Answer 1

Por Eisenstein puede mostrar $(x-i)^4-3$ es el polinomio mínimo de $3^{1/4}+i$ $\mathbb{Q}[i]$ . Y así, $[\mathbb{Q}(3^{1/4}+i):\mathbb{Q}(i)]=4$ . Así, como $[\mathbb{Q}(i):\mathbb{Q}]=2$ hemos $[\mathbb{Q}(3^{1/4}+i):\mathbb{Q}]=8$ y así consigues lo que quieres

Answer 2

Pregunta antigua, pero tenía que resolverla. Supongo que también existe una solución elegante, pero hasta ahora no la he encontrado.

Las estrategias consisten en encontrar $α ∈ ℚ(\sqrt[4] 3, \mathrm i)$ y, a continuación, realice una de las siguientes acciones:

1. Demuestra que $\sqrt[4] 3, \mathrm i ∈ ℚ(α)$ .
2. Calcula que $[ℚ(\sqrt[4] 3, \mathrm i) : ℚ] = [ℚ(α) : ℚ]$ .

También se puede hacer una combinación de ambas. A menudo, no se necesita un cálculo preciso, sino que puede bastar con una convergencia de observaciones generales. Por ejemplo, para hallar el elemento primitivo de una extensión simple $L / K$ se podría elegir un elemento $α ∈ L$ tal que $K(α) ≠ K(α^2)$ y $[K(α^2): K] ≥ 3$ pero $[L : K] \mid 8$ que ya implica $L = K(α)$ .

Aquí se puede

• elija $α = \sqrt[4] 3 + \mathrm i$ y $β = \sqrt[4] 3 - \mathrm i$ ,
• tenga en cuenta que $α + β = 2\sqrt[4] 3$ y $α - β = 2\mathrm i$ ,
• concluir que $ℚ(\sqrt[4] 3, \mathrm i) = ℚ(α, β)$ ,
• observe que $α^2 = \sqrt 3 + 2\sqrt[4] 3 \mathrm i - 1 ∈ ℚ(\sqrt[4] 3 \mathrm i)$ Así que $ℚ(α^2) ⊆ ℚ(\sqrt[4] 3 \mathrm i)$ ,
• Obsérvese que el único campo intermedio propio de $ℚ(\sqrt[4] 3\mathrm i) / ℚ$ es $ℚ(\sqrt 3)$ ,
• para encontrar que $\sqrt 3 ∈ ℚ(α^2) ⊆ ℚ(α)$ ,
• para concluir finalmente que $ℚ(α) = ℚ(α, β) = ℚ(\sqrt[4] 3, \mathrm i)$ desde $αβ = \sqrt 3 + 1$ .

Para demostrar que $ℚ(\sqrt[4] 3\mathrm i) / ℚ$ tiene exactamente un subcampo propio, obsérvese que $ℚ(\sqrt[4] 3\mathrm i) \cong ℚ(\sqrt[4] 3)$ y puesto que $[ℚ(\sqrt[4] 3) : ℚ] = 4$ cualquier subcampo propio $F$ de esta extensión tiene $[ℚ(\sqrt[4] 3) : F] = 2$ y, dividiendo $X^4 - 3$ se puede ver que el único divisor real de $X^4 - 3$ de grado $2$ que tiene $\sqrt[4] 3$ como raíz es $X^2 - \sqrt 3$ por lo que es el único candidato posible para polinomio aminimo de $\sqrt[4] 3$ en $F$ demostrando $\sqrt 3 ∈ F$ Por lo tanto $F = ℚ(\sqrt 3)$ .