La mayoría de las funciones son medibles

Question

Mi profesor me dijo una vez que si no usar el axioma de elección para construir una función de $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$, entonces es Lebesgue medible. Hasta qué punto esto es cierto?

Answer 1

No es estrictamente cierto de un rígido punto de vista formal. Considere la siguiente propiedad: $$ \psi(x) \equiv (\mathrm{AC} \land x\text{ is a Vitali set}) \lor (\neg\mathrm{AC} \land x = \mathbb R) $$ donde $\rm AC$ es la declaración formal de que el Axioma de Elección. ZF se demuestra a $\exists x.\psi(x)$, así que vamos a $A$ ser un conjunto tal que $\psi(A)$, y definir $f$ a ser su función de indicador.

Ya hemos definido $f$ sin asumir que el axioma de elección es cierto, pero $f$ no está garantizada para ser medible, sin embargo.

Por supuesto, esta definición huele fuertemente de la trampa, y su profesor el reclamo es para propósitos prácticos verdadero en el sentido de que si se abstengan de tales un engaño deliberado, entonces usted no será capaz de definir un no-medibles función sin atractivo para que el Axioma de Elección. Sin embargo, resulta extremadamente difícil de definir rigurosamente lo que "hacer trampa" significa aquí (hay menos flagrante maneras de hacer trampas que el anterior, que también debemos excluir), en una forma que permitiera a los profesores afirman ser formalmente demostrado.

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Si alguien objeta que la anterior $\psi$ no determina el $A$ (y, por tanto,$f$) de forma exclusiva, por el contrario, podemos tomar $$ \bar\psi(x) \equiv (\mathbf V=\mathbf L \land x\text{ is the first Vitali set}) \lor (\mathbf V\ne\mathbf L \land x=\mathbb R) $$ donde $\mathbf V=\mathbf L$ es de Gödel del Axioma de Constructibility, y "primera" significa en primer lugar de acuerdo a la norma definibles por el buen orden de $\mathbf L$. Entonces ZF se demuestra a $\exists! x.\bar\psi(x)$.

Answer 2

Como Henning dijo, formalmente hablando, esto no es del todo cierto. Podemos definir conjuntos, sin usar el axioma de elección, que no podemos demostrar que son mensurables.

Por ejemplo, cada universo de la teoría de conjuntos tiene un subuniverse satisfacer el axioma de elección, en un muy canónica de la manera que se llama $L$. Podemos ver un conjunto de reales, que es un conjunto de Vitali en $L$, o cualquier otro que no se pueden medir conjunto que vive en el interior de $L$. El axioma de elección no es necesaria para la definición de este conjunto, sin embargo, bajo algunos supuestos, este conjunto será en realidad un conjunto de Vitali, y por lo tanto no se pueden medir; y según otra hipótesis podría ser una contables establecidos y por lo tanto medibles.

Lo que su profesor realmente quiso decir, es que es coherente que el axioma de elección falla, y cada conjunto es Lebesgue medible. Esto fue demostrado por Solovay en 1970. Así que en la mayoría de los casos, si usted acaba de escribir una definición de "razonable", lo más probable es medible. Pero sin embargo, esto no es formalmente correcta. Tan lejos como el análisis, aunque, por lo general es el caso de que "se define explícitamente establece" son medibles.

Answer 3

En primer lugar, considerar que la construcción de un no-medibles función es equivalente a la construcción de un no-medibles conjunto (usando funciones de los indicadores).

Segundo, lo que usted está buscando parece ser Solovay del Teorema:

• http://mathoverflow.net/questions/42215/does-constructing-non-measurable-sets-require-the-axiom-of-choice
• https://en.wikipedia.org/wiki/Solovay_model

Básicamente, la idea es, como su profesor reclamado, necesitamos usar el axioma de elección para la construcción de conjuntos que no son Lebesgue medibles (o, equivalentemente, no Lebesgue medibles funciones).

Answer 4

Así que usted tiene axioma de elección para la construcción de un no medibles (ver http://mathoverflow.net/questions/42215/does-constructing-non-measurable-sets-require-the-axiom-of-choice).

Si usted construir una función sin el axioma de elección, entonces debe ser medible, porque de lo contrario podríamos construir un no medibles (como la inversa de la imagen de un conjunto medible).