Surreales y NSA: algunas cuestiones fundamentales

Question

Surreales y NSA: algunas cuestiones fundamentales.

A. Dejando a un lado toda la maquinaria interna de los surreales (con preguntas curiosas como ¿es $\omega$ un número entero y en caso afirmativo es impar o par, simple, un factorial, etc.), es un logro fundacional principal de los surreales que dan ejemplos concretos y bien definidos de campos saturados, en particular,

1) un rcof concreto, bien definido y contablemente saturado,

2) un tamaño de conjunto concreto y bien definido saturado rcof (No itself), por necesidad del tamaño de la clase.

Las propiedades de saturación en este contexto fueron observadas explícitamente por primera vez probablemente por Ehrlich en la década de 1980, pero se deducen de la $\eta_\alpha$ -propiedades (obvias por construcción) y un resultado (CK, Ex 5.4.4 en p. 369, posteriormente reproducido por Simpson) que probablemente era "de conocimiento común" en la teoría de modelos en los años 70, si no antes.

Obsérvese que Hausdorff estudió su $\eta_\alpha$ campos con más éxito como "pantaquías", es decir, subconjuntos linealmente ordenados de un cierto orden parcial de R^N, y con una fuerte dosis del axioma de elección -que no da ningún ejemplo concreto, bien definido-. Así, el rcof contablemente saturado que surge como cierta parte inicial de No es probablemente lo más parecido a la notoriamente inconsistente "pantachie infinitaire" de DuBoisReymond conocida hasta ahora.

(Como observación marginal, un rcof contablemente saturado no puede ser Borel - ni siquiera puede tener un conjunto Borel como dominio y una relación Borel como orden - por lo que no puede ser demasiado concretamente bien definido .)

B. En el contexto de los fundamentos de los infinitesimales, los surreales tienen un defecto importante: son sólo un rcof, sin un subsistema adecuado de números "surnaturales", que es un condición sine qua non para cualquier tratamiento completo de los infinitesimales.

C. Las extensiones no estándar de R comúnmente denotadas por R* no sufren de esto, por supuesto, y además, junto con un sistema relacionado de hiperíntegros N* están equipados con el asterisco del conjunto $\omega$ -superestructura alta sobre R. Sin embargo, durante mucho tiempo solían tener un problema fundacional propio: no se conocían ejemplos únicos y concretamente definidos de R*. Kanovei-Shelah (JSL, 2004) definió por primera vez tales ejemplos de modelos OD (definibles ordenadamente) R* de cualquier cantidad de saturación, entre ellos

(i) el conjunto saturado R* de tamaño de clase,

y de hecho

(ii) una extensión elemental saturada de tamaño de conjunto completo definible por ordinal del universo de conjuntos completos de ZFC considerado en detalle en Kanovei-Reeken, Nonstandard analysis axiomatically, Springer 2004.

D. Como cualesquiera dos rcof saturados de tamaño de conjunto completo (ambos de tamaño de clase, por supuesto) son isomorfos bajo cualquier teoría de clases adecuada con CG (elección global) mediante una aplicación estándar del método b&f, No y la estructura rcof básica de R* como en (i) más arriba son isomorfos (observado por primera vez por Ehrlich). Esto significa que, postfactum, los surreales No contienen de hecho (bajo GC) un sistema adecuado de surintegers y permiten todo el sistema de funciones reales y mucho más - simplemente heredado de R* como en (i) mediante el isomorfismo mencionado.

Esto nos lleva a los siguientes problemas de importancia fundamental, aún por resolver.

Problema 1. Obsérvese que tanto los surreales como R* de tipo (i) son OD, clases ZFC bien definidas, pero el isomorfismo entre ellas es no tal - es una aplicación de GC. Así que nos preguntamos: ¿existe un isomorfismo bien definido ZFC entre ellos?

Problema 2. Sharper, ¿existe un sistema adecuado ZFC-bien definido de surintegers, que satisfaga al menos PA y preferiblemente que haga que (No,surintegers) sea una extensión elemental de (R,N) ?

El problema 2 puede responderse afirmativamente tanto respondiendo afirmativamente al problema 1, como mediante una construcción surrealista propia.

Answer 1

Segundo tramo .

Tras haber abordado un punto histórico en la primera entrega de mi respuesta a Vladimir (véase más abajo), paso ahora a la primera de sus dos interesantes preguntas. Para empezar, el teorema 20 de mi El continuo aritmético absoluto y la unificación de todos los números grandes y pequeños , The Bulletin of Symbolic Logic 18 (1) 2012, pp. 1-45- se lee como sigue:

En NBG [que considero que incluye la elección global] existe (hasta el isomorfismo) una estructura única (R, R*,* ) tal que se satisfacen los axiomas A-E [axiomas de Keisler (1976) para sistemas de números hiperreales saturados] y para la cual R* es una clase propia; además, en tal estructura R* es isomorfa a No. Tal estructura es de hecho (hasta dentro del isomorfismo) el modelo único de los axiomas A-E cuya existencia puede establecerse en NBG sin supuestos adicionales.

La primera pregunta de Vladimir se refiere a la relación entre el sistema de números hiperreales del Teorema 20 y el sistema de números hiperreales saturado de conjuntos completos desarrollado en su importante tratado y el de Reeken sobre análisis no estándar. Soy escéptico en cuanto a que la primera pregunta de Vladimir admita una respuesta afirmativa. De hecho, propongo lo siguiente

Conjetura : Sin elección global, no se puede demostrar que los sistemas de números hiperreales saturados de conjuntos completos de Kanovei-Reeken sean isomorfos al del Teorema 20.

En NBG con elección global, No es (hasta isomorfismo) el único campo ordenado universal homogéneo, es decir, contiene una copia isomorfa de cada campo ordenado cuyo universo es un conjunto o clase propia de NBG, y cada isomorfismo entre subcampos de No, cuyos universos son conjuntos, puede extenderse a un automorfismo. La prueba de que No contiene una copia isomorfa de cada campo ordenado de potencia On utiliza la elección global, al igual que la prueba de homogeneidad. No me queda claro cómo se puede demostrar ninguno de estos resultados sobre el sistema de Kanovei-Reeken en el marco de Kanovei-Reeken. Por supuesto, puede que no esté pensando con suficiente creatividad; además, es posible que la primera pregunta de Vladimir tenga una respuesta positiva para alguna versión reducida de No, pero basándome en un intercambio privado con Vladimir, así como en su pregunta, es No del Teorema 20 lo que tiene en mente.

Abordaré la pregunta de Joel sobre los enteros omnificentes, así como las respuestas informativas de Dave y Emil, en una próxima entrega.

Primer plazo :

Espero volver pronto (quizá después de terminar mis impuestos) para abordar algunas de las interesantes cuestiones planteadas por Vladimir. En algunos casos ampliaré las respuestas que di a Vladimir en respuesta a la carta privada que me envió recientemente, respuestas que resultaron estar incorporadas en la motivación y formulación de algunas de sus preguntas. En ese momento, también explicaré por qué la parte no negativa de los enteros omnímodos a la que se refiere Joel no es un modelo completo de PA y también haré algunas puntualizaciones al respecto.

Por el momento, sólo deseo corregir ideas erróneas acerca de los grandes escritos de Hausdorff sobre $\eta_{\alpha}$ -ordenamientos con los que uno podría quedarse tras leer las observaciones de Vladimir. Ya que trato estos asuntos con cierto cuidado en la sección 8 de mi documento,

El continuo aritmético absoluto y la unificación de todos los números grandes y pequeños , Boletín de Lógica Simbólica 18 (1) 2012, pp. 1-45

Remito a los interesados a dicho documento para las definiciones y detalles necesarios. En un trabajo mío de próxima publicación titulado De la Pantachie Infinita de du Bois-Reymond a los Números Surrealistas .

Para empezar, en el primer gran artículo de Hausdorff sobre conjuntos ordenados de 1906, introduce la idea de un $\eta_{\alpha}$ -La ordenación es precisamente la forma en que la utilizamos hoy en día y continuó utilizándola de la misma manera en todos sus escritos posteriores. La definición figura en la página 132 del documento original y en la página 150 de la maravillosa y reciente traducción inglesa de Plotkin. Como explico en mi artículo sobre el BSL antes mencionado, Hausdorff se sintió motivado para introducir la idea de un $\eta_{1}$ -ordenar para caracterizar el tipo de orden de su muy perspicaz reconfiguración de la concepción errónea de Paul du Bois-Reymond de una pantichie infinita. De hecho, lo demuestra:

HAUSDORFF 1 [1907]: Existen pantaquías infinitas. Si P es un pantaquio infinito, entonces P es un $\eta_{1}$ -ordenación del poder $2^{\aleph_{0}}$ de hecho, P es (hasta isomorfismo) la única $\eta_{1}$ -ordenación del poder $\aleph_{1}$ asumiendo (la Hipótesis del Continuo) CH.

En su investigación de 1907, Hausdorff también plantea la cuestión de la existencia de una pantaquia que sea algebraicamente un campo, pero sólo avanza parcialmente en la búsqueda de una respuesta. Sin embargo, en 1909 vuelve a plantear el problema y proporciona una sorprendente respuesta positiva. En efecto, partiendo del conjunto ordenado de secuencias numéricas de la forma r, r , r, , r, donde r es un número racional, y utilizando lo que parece ser la primera aplicación algebraica de su principio maximal, Hausdorff demuestra el siguiente resultado poco conocido y notable.

HAUSDORFF 2 [1909]. Existe una pantaquia H de secuencias numéricas de números reales indexadas sobre los números naturales (con operaciones convenientemente definidas) que es un campo ordenado. Cualquier pantaquia de este tipo es, de hecho, un campo ordenado real-cerrado.

Escribiendo antes que Artin y Schrier [1926], Hausdorff por supuesto no se refiere a H como real cerrado; pero esencialmente establece que H es real cerrado mostrando que es la unión de una cadena de campos ordenados, cada uno de los cuales no admite extensión algebraica a un campo ordenado más inclusivo.

Así, contrariamente a lo que sostiene Vladimir, Hausdorff no formula su teoría de la $\eta_{\alpha}$ -de pantaquías, sino de la manera que conocemos y amamos; además, utiliza el caso especial de una $\eta_{1}$ -ordenación para caracterizar el tipo de orden de sus pantaquitas.

Estoy encantado de ver que Vladimir ha editado sus comentarios sobre Hausdorff, presumiblemente a la luz de las observaciones anteriores .