Una manifold con límite es localmente (camino) conectada

Question

Intento demostrar que una variedad topológica con o sin límites es localmente (camino) conexa.

Creo que ya he hecho la parte del colector sin límites: un colector sin límites es localmente euclidiano, por lo que admite una base de bolas de coordenadas, que son homeomorfas a bolas abiertas, que están conectadas por trayectorias porque son convexas. Dado que la conectividad por trayectoria implica conectividad y que ésta se mantiene mediante funciones continuas, se deduce que un colector admite una base de conjuntos conectados (por trayectoria).

No se me ocurre nada útil para la parte "con límite". Mi intuición era aplicar de alguna manera la misma línea de razonamiento que antes, sabiendo que para una variedad con límites cada punto tiene una vecindad que es homeomorfa a $\text{int} \mathbb{H}^n$ o a un subconjunto abierto de $\mathbb{H}^n$ incluyendo $ \partial\mathbb{H}^n$ . Mi idea ingenua sería demostrar que para el primer caso se puede utilizar de nuevo el hecho de que una bola abierta es (trayectoria) conectada, y una bola abierta que interseca a $ \partial\mathbb{H}^n$ sigue siendo convexa, por lo tanto (camino) conectado.

¿Puede alguien decirme si debo seguir esta línea de razonamiento o si debo plantear algo diferente? Gracias de antemano

$\mathbb{H}^n= \{ (x_1,...,x_n) \in \mathbb{R}^n: x_n\geq 0 \}$

Answer 1

Sus argumentos son correctos. Dejemos que $M$ ser múltiple (con o sin límite), $x \in M$ y $U$ ser un barrio abierto $x$ . Existe un vecindario abierto $V$ de $x$ y un homeomorfismo $ h : V \to W$ donde $W$ es un subconjunto abierto de $\mathbb{H}^n$ . $h(U \cap V)$ es una vecindad abierta de $h(x)$ en $\mathbb{H}^n$ por lo que existe $\epsilon > 0$ tal que $B_\epsilon(h(x)) \cap \mathbb{H}^n \subset h(U \cap V)$ . Aquí $B_\epsilon(y_0)= \{ y \in \mathbb{R}^n \mid \lVert y - y_0 \rVert < \epsilon \}$ . Pero $W' = B_\epsilon(h(x)) \cap \mathbb{H}^n$ es la intersección de conjuntos convexos, por lo tanto convexo y por lo tanto camino conectado. Concluimos que $h^{-1}(W')$ es una vecindad conexa de trayectoria abierta de $x$ que figura en $U$ .