¿Tiene sentido tomar un volumen infinitesimal de forma distinta a un cubo?

Question

La pregunta más clara: ¿Es el cubo infinitesimal el absoluto ¿el volumen infinitesimal más pequeño?

(Perdón si la gente pensó que quería decir: "¿Es posible y se hace en la vida cotidiana utilizar algo distinto del elemento de volumen cartesiano?" : Sé que la respuesta a esto es por supuesto que sí y conozco su utilidad. Pero tenga en cuenta que el título de la pregunta no se ha modificado en absoluto. Se mantiene).

Tras las numerosas discusiones, ahora las preguntas se sitúan en la comparación infinitesimal volúmenes.

Se agradecerá una respuesta global que aborde esta cuestión. Esto implica un enunciado de lo que son los infinitesimales, cómo surge un volumen infinitesimal y qué ocurre cuando se comparan dichos volúmenes a partir de dos sistemas de coordenadas diferentes. ¿Está bien abordar los volúmenes infinitesimales como versiones más pequeñas de formas finitas? Si está bien, ¿qué hay de malo en este Gedanken?:

• Un infinitésimo es, por definición, una longitud muy, muy pequeña. Si luego multiplico esta longitud por la misma pero en dos direcciones perpendiculares, obtengo un cubo. Éste es el volumen infinitesimal en coordenadas cartesianas. volumen infinitesimal debe tener todo su bordes como longitudes infinitesimales ¿verdad? ¿Cualquier otro volumen infinitesimal es teóricamente correcto? (Yo también tengo problemas para aceptar los "infinitesimales" con forma de cubo).

Apreciaría mucho que la gente con formación en física respondiera a esta pregunta de forma intuitiva, a lo "Feynman lectures", a falta de mejores palabras. Se agradece el tiempo de todos.

Mi argumento a favor de la comparación de elementos de volumen en distintos sistemas de coordenadas:

En cualquier sistema de coordenadas, puedo definir un intervalo cuya longitud unitaria puedo definir, por ejemplo. $|ds|=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2} $ . Así, los volúmenes infinitesimales de cualquier sistema de coordenadas se pueden comparar. Dado esto y que los volúmenes infinitesimales se producen, como resultado, yo empezaría con 3 longitudes infinitesimales sin posibilidad de una superficie curva. Debería terminar sólo con un cubo.

Answer 1

No es tanto una cuestión de qué es teóricamente correcto, sino más bien de qué forma de región nos permite más fácilmente pasar al límite y derivar una ecuación diferencial o una integral (que suele ser el objetivo de este paso).

La elección de la región depende a menudo de la simetría del problema. En problemas con simetría cilíndrica es habitual utilizar un cascarón cilíndrico. En problemas con simetría esférica se suele utilizar un cascarón esférico.

Answer 2

Usted preguntó: "¿Tiene sentido tomar un volumen infinitesimal de forma distinta a un cubo?"

Sí, y no. Si tienes una integral $$\int\int\int \text{something} \mathrm d\alpha \mathrm d\beta\mathrm d\gamma$$ entonces sí tienes cubos en $\alpha\times\beta\times\gamma$ .

Pero esos cubos en $(\alpha, \beta, \gamma)$ se distorsionará en otras formas dependiendo de su sistema de coordenadas.

El punto principal es que todas las formas juntas cubren toda la región y no se solapan (excepto los conjuntos con medida a cero volumen, típicamente, los límites.

Answer 3

Sí, a veces tiene sentido que los infinitesimales no sean cubos. Sobre todo cuando el espacio métrico utilizado no es necesariamente euclidiano.

En la obra de Walter Rudin Principios del análisis matemático en la primera parte de su formulación de la forma general del Teorema de Stoke (es decir, para espacios métricos arbitrarios de dimensión finita), construye un cálculo integral general para un espacio métrico arbitrario utilizando paralelepípedos. Yo diría que, al menos en los círculos matemáticos, se trata de un caso bastante famoso de infinitesimales no cúbicos.

Es posible que obtenga respuestas mucho mejores si publica esta pregunta en Math.SE. Para cualquiera que se pregunte qué áreas de la física podrían utilizar espacios métricos no euclidianos arbitrarios, personalmente no estoy seguro, pero sé que los manifolds se utilizan en Física, y creo que la Relatividad General se estudia o modela al menos a veces con coordenadas no euclidianas.

En relación con esta parte de su pregunta:

Alguien puede venir y preguntar entonces por qué no se hace la longitud en la tercera dimensión también el mismo

Un paralelepípedo puede tener todas las longitudes de sus aristas iguales. Lo que hace que no sea un cubo es que su ángulos no son necesariamente iguales.

Con respecto a:

¿Cómo puedo suponer que esto me va a dar el menor volumen posible?

Los infinitesimales no tienen por qué ser "el menor volumen posible". Aunque no soy un excelente matemático, estoy bastante seguro de que los requisitos de un infinitesimal para su uso en el cálculo integral es que estén compuestos por un volumen que sea a la vez fijo y arbitrario. Las preguntas que hay que poder responder sobre un infinitésimo son: "¿puedes calcular su volumen?" y "¿puedes elegir su volumen?".

La forma rigurosa habitual de responder a las dos preguntas que he planteado en el párrafo anterior es definir una transformación lineal que "elija el volumen" y asegurarse de que existe otra transformación lineal que "calcule el volumen", siendo esta última transformación normalmente una fórmula conocida para calcular el volumen.

Answer 4

Algunos puntos importantes I han recogido de las discusiones, que podrían ayudar a alguien a disipar completamente mis dudas. ¡Gracias a todos!

1. Uno no se propuso construir un elemento de volumen, sino que se produce como resultado del sistema de rejilla que estamos utilizando, a través de un proceso limitador. Naturalmente, la forma del elemento de volumen dependerá del sistema. Una pregunta sobre esto: ¿Se pueden comparar elementos de volumen (magnitud) de distintos sistemas? (están relacionados por el determinante y, obviamente, serán diferentes, por lo que, preguntando cuál es más pequeño es matemáticamente posible y mi pregunta OP sigue siendo.)Relacionado

Los volúmenes que son finitos en una o dos dimensiones y que son infinitesimales en una tercera dimensión siguen siendo infinitesimales porque un valor infinitesimal multiplicado por un valor finito sigue siendo infinitesimal.

Bien, pero ¿y si quiero compare esos diferentes elementos de volumen infinitesimal? Esta ha sido la cuestión desde el principio.

2. El elemento de volumen infinitesimal en un determinado sistema de coordenadas resultará ser el menor volumen posible en que sistema de cuadrícula.

3. "Infinitesimales" es una construcción especial en matemáticas y no debe tomarse como "más pequeño" y no tiene por qué corresponderse con mis pensamientos intuitivos, por ejemplo, la idea de que un elemento de volumen concreto sea el volumen absolutamente más pequeño posible a través de todos sistemas de coordenadas. (¡aunque parece algo muy plausible!)

4. Los infinitesimales se comportan como números reales, con ordenación también, pero en realidad son hiperreales. La definición de un volumen infinitesimal es tal que un infinitesimal en el producto es suficiente para llamarlo un infinitesimal - esto hace completamente mi edición # 2 y editar # 3 insignificante (e incluso los dos primeros puntos anteriores), pero no responde directamente: no es realmente la mínima longitud infinitesimal posible . Sin embargo, el producto va a ser más pequeño que cualquier número real, sólo que ahora estamos comparando números reales e hiperreales (esto es nuevo para mí, ya que me parece como inventar una definición para justificar algo).

5. La cuestión es que utilizamos no infinitesimales para deducir lo que ocurriría si realmente pudiéramos utilizar infinitesimales.

Esto me afecta mucho. Desde el principio, he estado pensando en las propiedades de las formas grandes y lo he asumido como las propiedades de sus versiones infinitesimales. ( ¿Es esto erróneo y si es así, por qué?). La cita de abajo también dice que esta suposición mía es errónea:

El tamaño de un infinitésimo no depende de su forma. Podemos hacer todo tipo de formas arbitrariamente pequeñas.

(Pido disculpas si algunos de los puntos anteriores son redundantes/repetitivos)

Answer 5

Esto implica una formulación de lo que son los infinitesimales, cómo surge un volumen infinitesimal y qué ocurre cuando se comparan dichos volúmenes a partir de dos sistemas de coordenadas diferentes.

Se define el infinitésimo de un volumen (un elemento de volumen) (como probablemente sabrás):

$$\Delta{V}=\Delta{x}\Delta{y}\Delta{z},$$

después de tomar el límite $$\Delta{x}\rightarrow dx$$ $$\Delta{y} \rightarrow{dy}$$ $$\Delta{z}\rightarrow{dz},$$
donde $dx$ , $dy$ y $dz$ acercarse a cero.

Así que, finalmente:

$$dV=dxdydz,$$

el elemento de volumen cúbico infinitesimal.

La definición general de un elemento de volumen es:

donde $u_1 , u_2$ y $u_3$ (por ejemplo $\rho$ , $\theta$ y $\phi)$ son las nuevas coordenadas. Cada punto del espacio (euclidiano) puede ser alcanzado por ellas.

Cuando se trabaja esto da para el nuevo elemento de volumen:

El determinante se denomina Jacobiano .

Para coordenadas esféricas el jacobiano es igual a:

,

derivado de:

.

En función del problema que desee resolver, puede utilizar distintos elementos de volumen para la integración. Para los problemas que implican cantidades esféricamente simétricas, la forma más fácil de integrar estas cantidades es utilizar el elemento de volumen esférico como se mencionó anteriormente.

¿Está bien abordar los volúmenes infinitesimales como versiones más pequeñas de formas finitas?

Supongo que te refieres a hacer de una forma arbitraria (como una estrella tridimensional de siete puntas) una forma con un volumen cercano a cero. La pregunta, en este caso, es por supuesto: ¿Existe el jacobiano para tal forma? Como obviamente ocurre para una esfera sólida o un cilindro. Es decir, ¿cómo $u_1$ , $u_2$ y $u_3$ ¿Qué aspecto tiene?
Sólo en casos especiales $u_1$ , $u_2$ y $u_3$ puede definirse. Hay pocos problemas (que yo sepa, ninguno) que requieran un elemento de volumen arbitrario. Eso es porque hay pocos (que yo sepa ninguno, pero si alguien un ejemplo, no dude en comentar) cantidades distribuidas arbitrariamente en el espacio. Creo que el volumen tiene que ser uno "bonito", como un hexágono 3d. O la combinación de un cubo y medias esferas: en cada lado del cubo colocamos una media esfera. Aunque dudo que el último elemento de volumen tenga utilidad práctica. Quizá encaje en un problema con condiciones de contorno espaciales que, a escala macroscópica, tenga la forma de un cubo con medias esferas.

Se especula con que la distancia más pequeña (medible) sea la longitud de Planck (véase este artículo de Wikipedia) que se acerca a cero. En este caso, el mínimo físico de $dV$ sería finito, por lo que $\Delta{V}$ .

Comentario final:

¿No es el cubo infinitesimal el absoluto ¿el volumen infinitesimal más pequeño?

¿No crees que un tetraedro (una pirámide con un cuadrado como base) tiene un volumen infinitesimal más pequeño (es decir, un elemento de menor volumen)? ¿O la mitad de un cubo? ¿O partes iguales de un cubo que juntas forman un cubo entero (infinitesimal)? Si piensas esto estás equivocado.
Todos los elementos de volumen son iguales en lo que respecta al volumen. ¿Por qué debería ser el cubo? ¿Porque se pueden juntar para llenar un espacio sin que haya espacio vacío entre ellos? Los elementos de volumen no se utilizan para llenar espacio. Sirven para integrar en distintas coordenadas. Esta es la razón, supongo que usted piensa que el elemento de volumen cubo tiene la volumen infinitesimal más pequeño absoluto .
El elemento de volumen esférico tiene la menor superficie con el mayor volumen en su interior. El elemento de volumen cúbico tiene una área superficie que es mayor cuando contiene el mismo volumen. Pero los volúmenes infinitesimales son todos iguales (aunque sean un límite) cuando se comparan entre sí. Son las superficies las que pueden tener un mínimo (o un máximo), no los volúmenes.

Para responder a la pregunta del recuadro: sí, tiene sentido.

Espero que esto satisfaga el criterio de "conferencia Feynman".