¿Tiene sentido tomar un volumen infinitesimal de forma distinta a un cubo?

Question

La pregunta más clara: ¿Es el cubo infinitesimal el absoluto ¿el volumen infinitesimal más pequeño?

(Perdón si la gente pensó que quería decir: "¿Es posible y se hace en la vida cotidiana utilizar algo distinto del elemento de volumen cartesiano?" : Sé que la respuesta a esto es por supuesto que sí y conozco su utilidad. Pero tenga en cuenta que el título de la pregunta no se ha modificado en absoluto. Se mantiene).

Tras las numerosas discusiones, ahora las preguntas se sitúan en la comparación infinitesimal volúmenes.

Se agradecerá una respuesta global que aborde esta cuestión. Esto implica un enunciado de lo que son los infinitesimales, cómo surge un volumen infinitesimal y qué ocurre cuando se comparan dichos volúmenes a partir de dos sistemas de coordenadas diferentes. ¿Está bien abordar los volúmenes infinitesimales como versiones más pequeñas de formas finitas? Si está bien, ¿qué hay de malo en este Gedanken?:

• Un infinitésimo es, por definición, una longitud muy, muy pequeña. Si luego multiplico esta longitud por la misma pero en dos direcciones perpendiculares, obtengo un cubo. Éste es el volumen infinitesimal en coordenadas cartesianas. volumen infinitesimal debe tener todo su bordes como longitudes infinitesimales ¿verdad? ¿Cualquier otro volumen infinitesimal es teóricamente correcto? (Yo también tengo problemas para aceptar los "infinitesimales" con forma de cubo).

Apreciaría mucho que la gente con formación en física respondiera a esta pregunta de forma intuitiva, a lo "Feynman lectures", a falta de mejores palabras. Se agradece el tiempo de todos.

Mi argumento a favor de la comparación de elementos de volumen en distintos sistemas de coordenadas:

En cualquier sistema de coordenadas, puedo definir un intervalo cuya longitud unitaria puedo definir, por ejemplo. $|ds|=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2} $ . Así, los volúmenes infinitesimales de cualquier sistema de coordenadas se pueden comparar. Dado esto y que los volúmenes infinitesimales se producen, como resultado, yo empezaría con 3 longitudes infinitesimales sin posibilidad de una superficie curva. Debería terminar sólo con un cubo.

Answer 1

Los elementos de volumen infinitesimal no tienen por qué ser cubos.

Algunos ejemplos conocidos proceden de los típicos problemas de sólidos de revolución del cálculo 1/2. Típicamente se discute el uso de los métodos del "disco/lavadora" o de las "cáscaras cilíndricas" para encontrar el volumen del sólido. Como se puede adivinar, el primer método utiliza discos/arandelas infinitesimales como elementos de volumen, y el segundo utiliza conchas cilíndricas de espesor infinitesimal.

Los volúmenes que son finitos en una o dos dimensiones y que son infinitesimales en una tercera dimensión siguen siendo infinitesimales porque un valor infinitesimal multiplicado por un valor finito sigue siendo infinitesimal. También se pueden construir elementos de volumen "no cúbicos" integrando ciertas variables de los elementos de volumen "cúbicos". Por ejemplo, puede obtener elementos de volumen esféricos integrando sobre las coordenadas azimutales y polares: $$\text dV=\text dr\cdot\int_0^\pi\int_0^{2\pi} r^2\sin\phi\,\text d\phi\,\text d\theta=4\pi r^2\,\text dr$$

que, como puede deducirse, es el volumen de una envoltura esférica de radio $r$ y espesor $\text dr$ .

Answer 2

Sus comentarios (y, en menor medida, su pregunta) indican una grave confusión sobre si alguna vez teniendo un volumen infinitesimal. Nunca se construye un volumen infinitesimal. Los volúmenes infinitesimales aparecen al final de un proceso límite.

¿Dónde están los infinitesmiales paralelepípedos rectangulares que estáis discutiendo aparecen? Aparecen en el límite de una integral triple iterada. Una integral triple iterada implica particiones ortogonales anidadas para construir sumas de Riemann. En el límite a medida que los diámetros de todos las particiones disminuyen a cero, los elementos de volumen resultantes son los paralelepípedos rectangulares infinitesimales que describes al principio.

¿Puede haber otros volúmenes infinitesimales? Por supuesto; utiliza un sistema de coordenadas diferente. Si has dispuesto tu integral triple para que esté en coordenadas esféricas, entonces (puedes, si tu región de integración la incluye,) tener una esfera infinitesimal en el centro y el resto serán volúmenes limitados por dos radios, dos longitudes (que limitan un cuña esférica ) y dos latitudes (que limitan un segmento esférico ). En el límite a medida que todos los diámetros de partición llegan a cero, se obtienen versiones infinitesimales de estos volúmenes.

Observe que en ningún momento durante la toma del límite se tienen un volumen infinitesimal. Estos infinitesimales sólo aparecen una vez que los diámetros de las particiones terminan de llegar a cero. No voy a entrar en las dificultades filosóficas de los infinitos completados y de si existen los resultados de procesos infinitos. La cuestión es que utilizamos no infinitesimales para inferir lo que ocurriría si realmente pudiéramos utilizar infinitesimales.

Como otro ejemplo de un volumen infinitesimal diferente, consideremos las coordenadas cilíndricas. Aquí tenemos cilindros en el eje longitudinal y, en el resto, volúmenes limitados por dos cilindros (infinitamente largos) de radios constantes, dos planos de ángulo constante y dos planos de longitud constante. Demos un nombre a estos últimos volúmenes: "fredes". Los cilindros y los freds no son paralelepípedos rectangulares. En el límite a medida que los diámetros de partición llegan a cero, acabamos teniendo cilindros infinitesimales y freds infinitesimales.

Existe una idea diferente: utilizar regiones no rectangulares en la suma de Riemann unidimensional habitual. Por ejemplo, graficar la función sobre el intervalo de interés, luego empaquetar el área entre la curva y el $x$ -eje con discos. Suma las áreas de los discos. A continuación, repita el proceso en el límite como el radio de los discos va a cero. Lo que encontrarás es que no obtienes el mismo valor que la integral habitual. Si tiene cuidado al especificar su método de empaquetamiento, en realidad tendrá un límite cuando los radios lleguen a cero y el área total resultante del disco subestimará la integral real debido a los "huecos" entre los discos.

En resumen, el método descrito en los primeros párrafos, en el que dividimos todo el espacio de integración en trozos, es necesario: no dejes huecos.

Answer 3

Los distintos sistemas de coordenadas tienen diferentes tipos de elementos de volumen; los elementos de volumen son consecuencia de cómo se establecen las líneas de cuadrícula del sistema de coordenadas. Los elementos de volumen pueden generarse modificando los parámetros que describen los puntos del espacio en cantidades infinitesimales y calculando el volumen de la región generada como consecuencia. Esto es especialmente útil en integrales de volumen multivariable y en la aplicación de algunos resultados del cálculo vectorial, como el teorema de la divergencia.

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Pensándolo un poco más, me gustaría añadir un punto más. Sí, tienes razón en que los infinitesimales son cantidades pequeñas, pero te falta un punto crucial. Dependiendo de la restricción que pongas mientras tu cantidad sea pequeña, la estructura real de esta "cantidad pequeña" sería diferente. Esto sería comprensible utilizando las referencias que he dado en la parte inferior.

Como ejemplo más directo, supongamos que tenemos un cubo grande y seguimos reduciendo la dimensión hasta que obtenemos una especie de cubo de volumen infinitesimal, y ahora, para contrastar, consideremos una esfera grande e imaginemos que la reducimos hasta que obtenemos una esfera infinitesimal diminuta. Estas dos cosas son elementos de volumen infinitesimal, pero el volumen que cada uno contiene es diferente debido a que el objeto real que se está reduciendo es diferente.

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Elemento de volumen derivado para coordenadas esféricas

Serie de conferencias que muestran el concepto descrito anteriormente mediante animaciones en 3D.

Para Comprender mejor las ideas de transformación lineal apuntadas en la clase anterior

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Respuesta V2.0 basada en los nuevos detalles de la pregunta:

1. y 2.) Se pueden relacionar los elementos de volumen entre diferentes sistemas de coordenadas utilizando el determinante del jacobiano. En cierto modo, el jacobiano es la relación entre el n-volumen en un sistema y el n-volumen en otro. No olvides tampoco que algunas transformaciones no se comportan igual globalmente, por ejemplo es fácil entender que el vector "unidad natural" de las coordenadas polares se escala a medida que te alejas del origen (*)

2. No estoy seguro de a qué se refiere exactamente con "el más pequeño". Necesitas una escala de medición absoluta para medir el concepto de lo más pequeño. Si tuviera que adivinar, el elemento de volumen más pequeño sería una transformación lineal singular que aplasta el espacio hasta convertirlo en un punto y, por tanto, tendría literalmente volumen cero.

3. y 4.) No voy a comentar sobre los números hiperreales ya que no he hecho mucho al respecto y este concepto ya fue tratado en la respuesta de Dave con mucho detalle.

4. Sí, las propiedades de una forma distintas de las medidas de n-volumen deben ser invariantes bajo una escala uniforme. Por ejemplo, consideremos los triángulos semejantes.

Answer 4

Un infinitésimo es, por definición, una longitud muy, muy pequeña.

Creo que tu pregunta se debe a un malentendido de lo que son los infinitesimales. Los infinitesimales no son fáciles de entender, pueden entenderse como un límite a medida que una cantidad llega a cero o en términos de los números hiperreales. Como el concepto de hiperreal es relativamente nuevo comparado con el de límite, no se enseña a menudo, pero tiene cierta claridad que me parece útil.

La línea hiperreal es la línea real aumentada con infinitos cuyos valores absolutos son mayores que cualquier número real y sus recíprocos, los infinitesimales, cuyos valores absolutos son menores que cualquier número real positivo.

Lo que ocurre con los infinitesimales es que, como números individuales (no como conjuntos), pueden manipularse con las mismas operaciones que los reales. Se puede multiplicar un infinitésimo por un número real y obtener otro infinitésimo. Los infinitesimales pueden ordenarse, lo que significa que si $dx$ es un infinitésimo, entonces $2 dx$ es mayor que $dx$ pero sigue siendo menor que cualquier real positivo y, por tanto, sigue siendo un infinitésimo perfectamente válido.

Así que usando "..." para denotar una secuencia infinita podemos ordenar los números hiperreales así: $$1>\frac{1}{2}> \frac{1}{3}> ... > dx > \frac{dx}{2} > \frac{dx}{3} > ... > dx^2 > ... > 0$$ o más coloquialmente podemos considerar $\epsilon =0.000...1$ para ser una especie de unidad infinitesimal que aún puede dividirse por 2 para hacer algo aún más pequeño y así sucesivamente. No existe un número infinitesimal absolutamente más pequeño. Como ejercicio, considere $dx$ y $\epsilon$ . Que es más pequeño $^*$ ? Es $dx<\epsilon$ o $\epsilon < dx$ ?

Esto es importante porque los infinitesimales pueden conservar sus relaciones entre sí. Todos ellos son menores que cualquier real positivo, incluso si algunos infinitesimales son mayores que otros infinitesimales. Así que $dx \ dy \ dz$ es la mitad del volumen de $dx \ dy \ (2 dz)$ pero ambos son infinitesimales.

De hecho, aunque $x$ y $y$ son números reales finitos $ x \ y \ dz$ puede ser un volumen infinitesimal. Un volumen infinitesimal sólo tiene que ser más pequeño que cualquier volumen real positivo, no más pequeño que otros volúmenes infinitesimales. Para ello basta con un único infinitésimo en el producto. Una envoltura esférica de radio $r$ a $r+dr$ es un volumen infinitesimal completamente legítimo y válido $4 \pi r^2 dr$ aunque su superficie sea finita $8 \pi r^2$ . Todo esto se deduce de las propiedades de los números hiperreales.

Los infinitesimales se pueden formar en un plano hiperreal y en vectores, y esos vectores pueden tener normas y productos escalares, por lo que se pueden tener formas infinitesimales arbitrarias. Puedes tener ángulos rectos, pero también puedes tener otros ángulos arbitrarios. No hay nada mágico en los ángulos rectos que los permita y prohíba otros ángulos. Podemos tener líneas rectas, pero también podemos tener líneas curvas arbitrarias. No hay ninguna restricción para los ángulos rectos y las líneas rectas.

Puesto que te das cuenta de que los infinitesimales pueden ser ortogonales entre sí, no debería sorprenderte que no haya limitación a otros ángulos y, por tanto, a formas arbitrarias. Las mismas reglas que te permiten construir infinitesimales ortogonales te permiten construir otras formas. De nuevo, todo esto se deduce de los hiperreales.

¿No es el cubo infinitesimal el volumen infinitesimal absolutamente más pequeño?

Respondiendo a este aspecto más reciente de la pregunta. No existe un volumen infinitesimal absolutamente más pequeño. Siempre se puede hacer un volumen más pequeño.

Por ejemplo, si $dx \ dy \ dz$ es un cubo infinitesimal entonces podemos definir $dx = 2 dX$ y luego $dX \ dy \ dz$ es un volumen menor y no es un cubo. Del mismo modo, podemos definir $dx = 2 dr$ y luego $4\pi/3 \ dr^3$ es una esfera infinitesimal más pequeña que el cubo. Y simplemente utilizando un número mayor que 2 podríamos hacer volúmenes menores que esos. No existe un volumen infinitesimal absolutamente más pequeño.

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Dado que mucha gente no está familiarizada con los hiperreales, aquí tiene algunos sitios introductorios (de ninguna manera completos u óptimos):

https://www.youtube.com/watch?v=FTXRnEKEn4k

https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperreal_number

https://www.youtube.com/watch?v=ArAjEq8uFvA

http://mathforum.org/dr.math/faq/analysis_hyperreals.html

http://homepage.divms.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/FoundInfsmlCalc.pdf

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$^*$ En este caso $\epsilon < dx$ . Observe que $dx$ se define por: $$ 1 > \frac{1}{2} > \frac{1}{3} > ... > dx$$ y $\epsilon$ está definido implícitamente por: $$ 1 > \frac{1}{10} > \frac{1}{100} > ... > \epsilon$$ Dado que cada término de la segunda secuencia es menor que el término correspondiente de la primera secuencia $\epsilon < dx$

Answer 5

No es tanto una cuestión de qué es teóricamente correcto, sino más bien de qué forma de región nos permite más fácilmente pasar al límite y derivar una ecuación diferencial o una integral (que suele ser el objetivo de este paso).

La elección de la región depende a menudo de la simetría del problema. En problemas con simetría cilíndrica es habitual utilizar un cascarón cilíndrico. En problemas con simetría esférica se suele utilizar un cascarón esférico.