Cuestión sobre los ideales mínimos rectos en un anillo simple

Question

Sea $R$ sea un anillo simple con $1$ . Sea $e,g$ sean idempotentes en $R$ con $eR$ un ideal mínimo derecho de $R$ .

En un artículo [ Breve demostración del teorema de Wedderburn-Artin - Tsiu-Kwen Lee ], afirma el autor:

Si $(1-g)eR\neq 0$ entonces es un ideal mínimo derecho de $R$ .

No tengo pruebas de ello. Lo que sabemos es lo siguiente: $e=(1-g)e + ge$ y así $$eR\subseteq (1-g)eR+geR.$$ Además, la suma del lado derecho es directa (fácil de ver).

Pero, ¿cómo la minimalidad de $(1-g)eR$ cuando es distinto de cero, no me queda claro. (Esto podría ser fácil, pero no despertar argumentos para mí).

Answer 1

Creo que, si el ideal correcto $(1-g)eR$ es distinto de cero, entonces se puede demostrar su minimalidad de la siguiente manera: intentamos demostrar que este ideal está generado por cualquiera de sus elementos (distintos de cero), lo que implicará que es simple derecho $R$ -lo que demuestra la afirmación.

Así que, toma $0\neq (1-g)ex\in (1-g)eR$ .

Entonces $0\neq ex\in eR$ Así que $exR\subseteq eR$

Por minimalidad de $eR$ obtenemos $exR=eR$ .

Por lo tanto $(1-g)exR=(1-g)eR$ .

Es decir, cualquier $(1-g)ex$ en el ideal correcto $(1-g)eR$ genera el ideal; por lo que este ideal es simple (por lo tanto, mínimo).

Answer 2

Dicho de forma más sencilla, la multiplicación a la izquierda por un elemento de $R$ en un ideal correcto $T$ de $R$ es un homomorfismo de $T\to R$ como derecho $R$ -módulos.

Claramente entonces $(1-g)eR$ es una imagen homomórfica del módulo simple $eR$ por lo que sólo puede ser el módulo cero o un módulo simple.