Formulación de la aceleración en general

Question

Sé que en dinámica de fluidos, usamos Descripción lagrangiana de aceleración. Es decir, a derivado material $$\frac{dv}{dt}=\frac{\partial v}{\partial t}+(v\cdot\nabla )v .$$ Mi pregunta es si podemos utilizar la misma formulación para la cinemática de cuerpos rígidos, porque parece bastante general y, si podemos, ¿por qué no vemos que se utilice en ninguna parte de la mecánica clásica?

Answer 1

En la mayoría de los problemas de mecánica clásica, la velocidad $v$ de una partícula suele ser función de $t$ exclusivamente. Si fuera en función de ambos $t$ y su vector de posición $\vec{x}$ entonces $v=v(t,x,y)$ . (En el caso 2D, por supuesto)

Para encontrar $\frac{dv}{dt}$ podemos aplicar la regla de la cadena, lo que resulta en:

$$\frac{dv}{dt}=\frac{\partial v}{\partial t}+\frac{dx}{dt}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{dy}{dt}\frac{\partial v}{\partial y}$$ Esto es lo mismo que la expresión que usted proporciona. El segundo y el tercer término suelen ser cero en los problemas que se estudian habitualmente.

Answer 2

En la dinámica de cuerpos rígidos existe el concepto de aceleración espacial $ \vec{\psi} = \dot{\vec{v}}$ así como la aceleración material $\vec{a}$ . Este es la descripción lagrangiana. Ambas están relacionadas como $$ \vec{a} = \vec{\psi} + \vec{\omega} \times \vec{v} $$

Consideremos un cuerpo rígido en movimiento, y en algún instante un punto A montar en el cuerpo tiene posición $\vec{r}_A$ así como el centro de masa C con posición $\vec{r}_C$ .

• Aceleración material de $\vec{a}_A$ es la aceleración de la partícula de masa A mientras se desplaza. Su ley de transformación al centro de masa es $$\vec{a}_C = \vec{a}_A + \vec{\alpha} \times (\vec{r}_C-\vec{r}_A)+\vec{\omega}\times (\vec{v}_C-\vec{v}_A) $$

• Aceleración espacial de $\vec{\psi}_A$ es la aceleración de lo que sea pasa por debajo de la posición fija definida por $\vec{r}_A$ (donde A es ahora). Su ley de transformación al centro de masa es $$\vec{\psi}_C = \vec{\psi}_A + \vec{\alpha} \times (\vec{r}_C-\vec{r}_A)$$

• Puedes demostrar lo anterior una vez que definas las aceleraciones espaciales a partir de las aceleraciones materiales.

  $$\matrix{\vec{\psi}_A = \vec{a}_A - \vec{\omega} \times \vec{v}_A \\ \vec{\psi}_C = \vec{a}_C - \vec{\omega} \times \vec{v}_C}$$

• La aceleración espacial se transforma de forma similar con las velocidades y los pares. Por tanto, se utiliza en las ecuaciones de movimiento (en forma espacial) para simplificar las transformaciones de lugar a lugar. A partir de ahora no pienses en partículas de masa en movimiento, sino en lugares fijos en el espacio.

_{A partir de ahora me saltaré las decoraciones vectoriales}

Formulación

Considere la ecuaciones de movimiento en el centro de masa $$ \begin{bmatrix}F\\ M_{C} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}m\\ & I_{C} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{C}\\ \alpha \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\ \omega\times I_{C}\omega \end{bmatrix} $$

Formulamos la ecuación espacial del movimiento utilizando $$\begin{bmatrix}a_{C}\\ \alpha \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\psi_{C}\\ \alpha \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\omega\times v_{C}\\ 0 \end{bmatrix}$$ para llegar a

Ecuación de movimiento de un cuerpo rígido con notación espacial

$$\begin{bmatrix}F\\ M_{C} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}m\\ & I_{C} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\psi_{C}\\ \alpha \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\omega\times & \\ v_{C}\times & \omega\times \end{bmatrix}\begin{bmatrix}m\\ & I_{C} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_{C}\\ \omega \end{bmatrix} $$

_{Tenga en cuenta que $v_C \times m v_C =0$ y así $F = m a_C + v_C \times (m v_C)$ . También $\omega\times$ y $v_C \times$ son el operador de producto cruzado de matriz simétrica inclinada 3×3 (véase también la nota siguiente).}

Lo anterior es más fácil de tratar porque todos los términos se transforman de localización a localización utilizando reglas de transformación lineal estándar. Por ejemplo, si se formula la fórmula ecuaciones de movimiento en un punto A lejos del centro de masa es complejo en forma vectorial. Pero en forma espacial es más fácil porque seguimos las sencillas reglas que se indican a continuación:

$$ \begin{bmatrix}v_{C}\\ \omega \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & -[c\times]\\ & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_{A}\\ \omega \end{bmatrix}$$

$$\begin{bmatrix}\psi_{C}\\ \alpha \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & -[c\times]\\ & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\psi_{A}\\ \alpha \end{bmatrix}$$

$$\begin{bmatrix}F\\ M_{C} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\ -[c\times] & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}F\\ M_{A} \end{bmatrix}$$

_{Nota: $[c\times]$ denota la simétrica oblicua 3×3 <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product#Conversion_to_matrix_multiplication" rel="nofollow noreferrer">operador de producto cruzado </a>para el vector $c = r_C-r_A$ .}

Las ecuaciones del movimiento en un punto que no está en el centro de masa son:

$$\begin{align} \begin{bmatrix}F\\ M_{A} \end{bmatrix} & =\begin{bmatrix}m & -m[c\times]\\ m[c\times] & I_{C}-m[c\times][c\times] \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\psi_{A}\\ \alpha \end{bmatrix} \\ & +\begin{bmatrix}\omega\times\\ v_{A}\times & \omega\times \end{bmatrix}\begin{bmatrix}m & -m[c\times]\\ m[c\times] & I_{C}-m[c\times][c\times] \end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_{A}\\ \omega \end{bmatrix} \end{align}$$

Lo anterior suele condensarse en $$ \hat{f}_A = {\rm I}_A \dot{\hat{v}}_A + \hat{v}_A \times {\rm I}_A \hat{v}_A $$

• $\hat{f}_A$ es la carga espacial 6×1 (llamada llave de fuerza).
• $\hat{v}_A$ es la velocidad espacial 6×1 (llamada torsión de velocidad).
• $\dot{\hat{v}}_A$ es la aceleración espacial 6×1 (llamada torsión de aceleración).
• ${\rm I}_A$ es la matriz de inercia espacial 6×6 (con incluye el teorema del eje paralelo en el bloque inferior derecho 3×3).
• $\hat{v}_A\times$ es el operador de derivada espacial (similar al vector $\dot{\vec{A}} = \vec{\omega} \times \vec{A}$ )

Forma espacial de las leyes del movimiento de Newton-Euler

Las ecuaciones de movimiento pueden explicarse a partir del momento espacial $\hat{\ell}_A = {\rm I}_A \hat{v}_A$ y la extensión a la ley de Newton:

$$\hat{f}_A = \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \hat{\ell}_A = \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}( {\rm I}_A \hat{v}_A )$$

La derivada espacial del momento es

$$ \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \hat{\ell}_A = \frac{\partial}{\partial t} \hat{\ell}_A + \hat{v}_A\times \hat{\ell}_A$$

$$\hat{f}_A = {\rm I}_A \dot{\hat{v}}_A + \hat{v}_A \times {\rm I}_A \hat{v}_A$$

_{Referencias - <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Newton%E2%80%93Euler_equations" rel="nofollow noreferrer">Ecuaciones de movimiento combinadas de Newton-Euler </a>- <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Spatial_acceleration" rel="nofollow noreferrer">Aceleración espacial</a>}