¿Qué argumentos asintóticos, si los hay, se utilizan para pasar de una afirmación del teorema central del límite a otra (por ejemplo, en términos de medias muestrales comparadas con medias muestrales normalizadas)?
Contexto.
Mi pregunta es algo trivial, y quizá pedante, pero en cualquier caso agradecería alguna idea concreta al respecto.
En términos de normalidad asintótica de las medias muestrales, una versión del teorema del límite central es
$$\overline{X}_n \overset{d}{\longrightarrow} \mathcal{N} \left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right) \tag{1}$$
para i.i.d. $X_1, \dots, X_n$ con media $\mu$ y varianza $\sigma^2$ . Una formulación equivalente en términos de medias muestrales normalizadas podría ser
$$\frac{ \sqrt{n}(\overline{X}_n - \mu)}{\sigma} \overset{d}{\longrightarrow} \mathcal{N}(0,1). \tag{2}$$
La mayoría de las referencias de estadísticas intermedias que he visto demuestran $(2)$ utilizando algunas suposiciones sobre la función generadora de momentos y aproximaciones de Taylor. He notado que pedagógicamente, o bien presentan:
- $(1)$ y $(2)$ como formulaciones equivalentes del mismo teorema.
- O demuestran $(2)$ y suponer que en asimtopía, podemos pasar de $(2)$ a $(1)$ . No hay ninguna otra justificación explícita de cómo nos movemos entre $(2)$ y $(1)$ posiblemente por ser tan fundamental y "estándar".
En este último caso, ¿podríamos considerar que pasar de $(2)$ a $(1)$ como un ejemplo del teorema de la cartografía continua?
