Problema de ejemplo de "Lecture Notes on Elementary Topology and Differential Geometry" (Singer/Thorpe)

Question

A continuación se presenta un problema de ejemplo extraído del texto mencionado:

"Let $J^+$ = [n, n es un número entero positivo] y sea $I_n = [0, 1/n]$ . Entonces $P = (\pi_{n \; \in \; J^+}, I_n)$ es un espacio topológico en la topología del producto. Introducimos una métrica en el conjunto de puntos de $P$ como sigue..."

Mi pregunta es la siguiente:

¿Qué espacio producto corresponde a la topología producto mencionada?

EDIT: La notación $(\pi_{n \; \in \; J^+}, I_n) $ parece sugerir que dicha topología del producto corresponde al conjunto $I_n$ . Si este es el caso, ¿cómo puede $I_n$ ser tratado como un espacio de producto?

Gracias de antemano.

Answer 1

Es posible (pero notablemente muy raro) que lo que se está proporcionando es una colección de proyecciones canónicas y sus espacios imagen. Partiendo de esa suposición, su espacio producto es $J^+$ -secuencias indexadas, donde el $n^\text{th}$ de la secuencia es un elemento de $I_n$ .

Una ligera reducción de la rareza notacional sería $$( (\pi_n, I_n))_{n \in J^+} \text{,} $$ que indica más claramente una secuencia indexada por $J^+$ junto con la proyección canónica - pares espaciales de imágenes. En cualquier caso, este modo de especificación y el de la Pregunta son muy teóricos de la categoría en el sentido de que la especificación proporciona los datos necesarios para construir el diagrama conmutativo para el propiedad universal de un espacio producto .

Como otros han escrito en los comentarios, " $ P = \prod_{n \in J^+} I_n $ con proyecciones canónicas de elementos" sería una forma mucho menos extraña de especificar este espacio.