Base de proyección complementaria

Question

Tengo una matriz de proyección de tipo

$P_1 = A (A^TA)^{-1}A^T$

La base del subespacio proyectado es A.

Si tengo una proyección de tipo $P_2 = I - [A(A^T A)^{-1}A^T]$

Es fácil demostrar que $A$ es una base de $P_1$ .

$P_1 A s = (A (A^T A)^{-1} A^T)As = As$ lo que significa que cualquier vector transformado por $A$ ya vive en el subespacio abarcado por $P_1$ .

Intenté hacer algo parecido con $P_2$ .

$P_2 X s = X s$ y encontrar la solución para X, pero este enfoque sólo me da algo como $P_2Xs = 0$ que creo que debería verificarse para cualquier s. Por lo tanto tengo $P_2X = 0$ que no puedo resolver porque P_2 no es invertible.

Entonces, ¿cómo puedo calcular una base para el subespacio proyectado abarcado por $P_2$ ?

Editado en base a la respuesta de Bercis:

Sé que puedo encontrar una base para $P_2$ utilizando $QR$ descomposición. Creo que la base es sólo la primera $m$ columnas con $m = rank(P_2)$ .

Esperaba tener un enfoque directo, que requiriera menos cálculos, dado que para $P_1$ Puedo obtener la base directamente.

Answer 1

Entonces, son las columnas de $A$ que genera el subespacio proyectado en por $P_1$ pero no son necesariamente linealmente independientes. Sin embargo, podemos seleccionar una base de ellos para $\mathrm{im}(P_1)=\mathrm{im}(A)$ .

Desde $P_1$ es idempotente ( $P_1^2=P_1$ ), también lo es $P_2=I-P_1$ y tenemos $$v\in\mathrm{im}(P_2) \iff P_2v=v\iff P_1v=0$$ lo que significa $v\perp\mathrm{im}(P_1)=\mathrm{im}(A)$ porque $P_1^T=P_1$ .

Así que.., $P_2$ proyectos en la complemento ortogonal del espacio de columnas de $A$ y para encontrar una base explícitamente, se puede utilizar, por ejemplo, la ortogonalización de Gram-Schmidt en una extensión de base arbitraria de la seleccionada $A$ -columnas.