¿Qué es una función analítica multivaluada?

Question

El libro dice a grandes rasgos :-

Supongamos que un elemento f(z) se fija en $z_0$ . Lo continuamos analíticamente a lo largo de todas las curvas a partir de $z_0$ para los que la continuación es posible. El conjunto de elementos resultante se denomina función analítica generada por el elemento f(z)

Aquí elemento f(z) en $z_0$ significa que tiene expansión en serie de potencias en alguna vecindad de $z_0$

Mi pregunta es:-

¿Qué es esto? función analítica generada por el elemento f(z) formalmente ? ¿Es la función analítica generada por el elemento f(z) sobre el plano complejo ¿un conjunto o una función? También sería bueno si alguien da un ejemplo, como ¿cuál es la función analítica generada por ln(z)?

Answer 1

Está buscando el concepto de función analítica completa . Hay varias formas de configurar los detalles, pero una de ellas es:

• Sea $\mathscr B$ sea el conjunto de todas las funciones analíticas definidas sobre discos abiertos en $\mathbb C$ .

• Definir una relación $\sim$ en $\mathscr B$ tal que $f\sim g$ si los dominios de $f$ y $g$ se solapan, y sus valores de función coinciden en la intersección.

• En continuación anlítica (que el citado artículo de Wikipedia denomina "función analítica global", aunque no tiene por qué ser muy "global") es cualquier subconjunto no vacío $\mathcal F$ de $\mathscr B$ tal que cada dos $f,g\in\mathcal F$ puede conectarse con un finito cadena de miembros de $\mathcal F$ : $$ f \sim h_1 \sim h_2 \sim \cdots \sim h_n \sim g$$

• A función analítica completa es un $\mathcal F$ que es maximal en el sentido de que no puede ampliarse sin perder la propiedad anterior.

• Equivalentemente, una función analítica global es una clase de equivalencia bajo el cierre transitivo de $\sim$ .

Por ejemplo, la función analítica global correspondiente al logaritmo es el conjunto de todos que surgen al (a) elegir cualquier disco abierto que no contenga el origen, y luego (b) elegir cualquier rama del logaritmo en este disco, es decir, que $f$ sea tal que $f'(z)=1/z$ en todas partes y $e^{f(z)}=z$ en el centro.

Una continuación analítica en este sentido es casi un atlas de su Superficie de Riemann excepto que los gráficos necesitan mapear $z$ no sólo a $f(z)$ sino a un paquete que contenga $z$ y todas las derivadas de $f$ en $z$ (o, lo que es lo mismo, los coeficientes de la serie de potencias en $z$ ) para evitar el punto de colapso en la superficie de Riemann.

No basta con construir una teoría en la que una función pueda tener múltiples valores porque la mera valores de una función puede coincidir entre distintas ramas en un mismo punto sin que coincida nada más. Por ejemplo, considere $f(z)=(z-1)\sqrt z$ con la habitual raíz cuadrada "multivaluada". Sólo tiene un valor posible en $z=1$ Sin embargo, sus dos ramas se comportan de forma diferente: tienen diferentes derivados.