Todo subconjunto de A es f-saturado

Question

Sea $f:A\rightarrow B$ sea una función tal que $\forall X\subseteq A[ f^{-1}[f[X]]=X]$ (En otras palabras, cada subconjunto de $A$ est $f$ -saturado). ¿La propiedad de la función $f$ ¿tiene nombre?

Entiendo que puede que no haya un nombre (En este caso borraré mi pregunta). En caso de que haya un término, no quiero perdérmelo.

Gracias

Answer 1

Es habitual decir que una función $f$ con dicha propiedad es inyectiva .

Declaración: La función $f$ es inyectiva si, y sólo si, para cada subconjunto $X$ de $A$ la igualdad $f^{-1}[f[X\textbf{]}\textbf{]}=X$ retenciones.

Prueba : Si $B=\varnothing$ entonces $A=\varnothing$ y la afirmación es trivialmente cierta. Si $A=\varnothing$ también es trivialmente cierto. Supongamos que $A\neq \varnothing \neq B$ .

$\Longrightarrow:$ Supongamos que $f$ es inyectiva y $X\subseteq A$ . Queremos demostrar que $f^{-1}[f[X\textbf{]}\textbf{]}=X$ . Si $X=\varnothing$ es fácil. Supongamos que $X\neq \varnothing$ .

1. $\subseteq:$ Sea $x\in f^{-1}[f[X\textbf{]}\textbf{]}\ \bigl(=\{a\in A:f(a)\in f[X\textbf{]}\}\bigr)$ . Así que $f(x)\in f[X\textbf{]}\ \bigl(=\{f(a): a\in X\}\bigr)$ . Desde $f(x)\in f[X\textbf{]}\Longrightarrow (\exists a\in X)(f(a)=f(x))$ de $f$ al ser inyectiva se deduce que $x=a$ para algunos $a\in X$ lo que implica que $x\in X$ .
2. $\supseteq:$ Sea $x\in X$ . En $$x\in X\Longrightarrow x\in X \wedge f(x)\in f[X\textbf{]} \Longrightarrow x\in\{a\in A:f(a)\in f[X\textbf{]}\}=f^{-1}[f[X\textbf{]}\textbf{]}$$ se deduce que $f^{-1}[f[X\textbf{]}\textbf{]}\supseteq X$ . (Nótese que aquí no se ha utilizado la inyectividad, lo que hace que esta inclusión sea cierta tanto si $f$ es inyectiva o no).

Por lo tanto $f^{-1}[f[X\textbf{]}\textbf{]}=X$ .

$\Longleftarrow$ : Para demostrar la contraposición supongamos que $f$ no es inyectiva. Entonces hay $x,y\in A$ tal que $f(x)=f(y) \wedge x\neq y$ . Sin embargo $f^{-1}[f[\{x\}\textbf{]}\textbf{]}=\{a\in A: f(a)=f(x)\}\supseteq \{x,y\}\neq \{x\}$ lo que significa que la igualdad $f^{-1}[f[X\textbf{]}\textbf{]}=X$ falla por $X=\{x\}$ .