Después de comprobar algunos ejemplos parece que es cierto y yo hubiera pensado que los elementos del grupo serían los múltiplos de los divisores de $n$ hasta $n$ ¿Cómo podría demostrarlo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Asbv
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Usted tiene que $(\mathbb{Z}_n,+)$ es cíclico, generado por $1$ (modulo $n$ por supuesto), así que $1$ tiene orden $n$ en $(\mathbb{Z}_n,+)$ se puede demostrar que para cada $d|n$ , $d \cdot 1$ tiene orden $n/d$ y los subgrupos generados por $d \cdot 1, d | n$ son los únicos subgrupos de $(\mathbb{Z}_n,+)$ .
Puede demostrar que $d \cdot 1$ tiene orden $n/d$ de la siguiente manera $o$ sea el orden de $d \cdot 1$ . Usted tiene que $\displaystyle \frac{n}{d} \cdot \left(d \cdot 1\right) = 0,$ así que $o | \displaystyle \frac{n}{d}.$
Por otra parte, también tiene que $\displaystyle \left(o \cdot d \right)\cdot 1 = d \cdot (o \cdot 1) = 0,$ así que $n | (o \cdot d) \implies \left( \displaystyle d \cdot \frac{n}{d} \right) | (o \cdot d) \implies \displaystyle \frac{n}{d} | o,$ así que $o = \displaystyle \frac{n}{d}$ .
Si $n$ no es primo, tienes que hay algún $d \in \mathbb{N}, d|n$ tal que el subgrupo genereado por $d \cdot 1$ es correcto.
Si $(\mathbb{Z}_n, +)$ tiene subgrupos propios, entonces supongamos que $n$ es primo. Entonces, a partir del teorema de Lagrange, se tendría que el orden de cada subgrupo sería un divisor de $n$ pero como $n$ es primo, no tendrías subgrupos propios, lo cual es una contradicción.
