En $a\to \infty$ , $\sqrt{a^2+4}$ se comporta como $a+\frac{2}{a}$ ?

Question

¿Qué significa que $\,\,f(a)=\sqrt{a^2+4}\,\,$ se comporta como $\,a+\dfrac{2}{a},\,$ como $a\to \infty$ ?

¿Cómo se puede justificar esto?

Gracias.

Answer 1

Esto es correcto:

$$ \sqrt{a^2+4}=a\sqrt{1+\frac{4}{a^2}}=a+a\left(\sqrt{1+\frac{4}{a^2}}-1\right)=a+a\frac{1+\frac{4}{a^2}-1}{\sqrt{1+\frac{4}{a^2}}+1}\\=a+\frac{4}{a}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+\frac{4}{a^2}}+1}\approx a+\frac{2}{a} $$

Answer 2

Más exactamente, $\sqrt{a^2+4} = a + 2/a + O(1/a^3)$ como $a \to \infty$ . De hecho es fácil ver que $$(a+2/a)^2 > a^2 + 4 > (a+2/a - 2/a^3)^2 \ \text{for} \ a > 1$$ así que $$a + \dfrac{2}{a} > \sqrt{a^2 + 4} > a + \dfrac{2}{a} - \dfrac{2}{a^3}$$

Answer 3

$$\sqrt{a^2+4}\sim a+\frac{1}{a}$$ como $a\to\infty$ si $$\lim_{a\to\infty}\frac{\sqrt{a^2+4}}{a+\frac{1}{a}}=1$$ Pero $$\lim_{a\to\infty}\frac{\sqrt{a^2+4}}{a+\frac{1}{a}}=\lim_{a\to\infty}\frac{a\sqrt{a^2+4}}{a^2+1}=\lim_{a\to\infty}\frac{a^2\sqrt{1+4/a^2}}{a^2(1+1/a^2)}=1$$

Answer 4

Por positivo $a$ : $$ \sqrt{a^2 + 4} = a\sqrt{1+\frac{4}{a^2}} $$ y $$\lim_{a\to\infty}\sqrt{1+\frac{4}{a^2}} = 1. $$ Por lo tanto, la serie de Taylor de $\sqrt{1+x}$ en torno a $0$ (cuando $x\to 0$ ) es: $$ \sqrt{1+x} = 1 + \left.\frac{1}{2\sqrt{1+x}}\right\rvert_{x=0} x + O(x^2) = 1+ \frac{x}{2} + O(x^2) $$ Así, cuando $1<<a$ (es importante para $a$ ser grande!) y poniendo $x = \frac{4}{a^2}$ $$ \sqrt{a^2 + 4} = a\left(1 + \frac{4}{2a^2} + O\left(\frac{1}{a^4}\right)\right)=a + \frac{2}{a} + O\left(\frac{1}{a^3}\right) $$

EDIT: He corregido mi respuesta.

Answer 5

Este se remonta a Newton : El teorema del binomio no sólo funciona para exponentes de números naturales. Si $a > 2$ se cumple la siguiente fórmula:

$$\sqrt{a^2+ 4} = (a^2 + 4)^{1/2} = \sum_{k=0}^\infty {{1/2}\choose k}(a^2)^{1/2-k}4^k$$ $$= a + (1/2)\frac{4}{a} + \frac{(1/2)(-1/2)}{2!} \frac{4^2}{a^3} + \cdots$$ $$= a + \frac{2}{a} - \frac{2}{a^3} + \cdots$$

Observe que cuando $a$ es muy grande, los términos posteriores son cada vez menos significativos.