Teoría de grupos Subgrupos normales

Question

Sea $G$ sea un grupo de orden $8$ con $x\in G$ tal que $o(x)=4$ .

Demostrar que $x^2\in Z(G)$ donde $$Z(G)=\{ x \in G \mid xg=gx\text{ for all }g\in G\}.$$

Answer 1

SUGERENCIA: Cualquier subgrupo de índice $2$ es normal en $G$ .

Answer 2

Sugerencia : Una orden $2$ subgrupo $H$ de cualquier grupo $G$ es normal si y sólo si $H \subset Z(G)$ .

Answer 3

Otro enfoque por indicios:

** Para cualquier grupo $\,G\,$ el cociente $\,G/Z(G)\,$ no puede cíclico no trivial ;

** Cualquier finito $\,p-$ grupo, $\;p\;$ un primo, tiene un centro no trivial;

** Si $\;G\;$ es un grupo no abeliano de orden $\;2^3=8\;$ entonces su centro debe tienen orden dos ;

** Si el exponente de un grupo cociente $\,G/N\;$ est $\,m\,$ para cualquier $\,g\in G\,$ obtenemos que $\,g^m\in N\,$

Answer 4

Si $\langle x\rangle\bigcap Z(G)=1$ entonces $G\cong\langle x\rangle\times Z(G)$ y, por tanto $G$ es abeliano. Así que suponemos $G$ no es abeliano. Entonces $|\langle x\rangle\bigcap Z(G)|\geqslant2$ y $\langle x^2\rangle\leq Z(G)$ .