Entiendo que la serie armónica diverge debido a la prueba de comparación: $$1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15+\frac16+\frac17+\frac18+\cdots\\\ge1+\frac12+\frac14+\frac14+\frac18+\frac18+\frac18+\frac18+\cdots$$ Sin embargo, no puedo entender intuitivamente por qué esto es así si $$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{n}\right)=0$$ Anteriormente, pensaba que una forma fácil de comprobar si una serie es convergente era si se cumplía la condición anterior. Sin embargo, la serie armónica me ha demostrado que no siempre es así: a veces una serie puede divergir aunque los términos se aproximen a $0$ . ¿Por qué la serie armónica diverge pero series como $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots$ ¿no?
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Lord Shark the Unknown
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¿Qué tal este ejemplo? $\sqrt n\to\infty$ como $n\to\infty$ Espero que estés de acuerdo. Deja $a_1=1$ , $a_2=\sqrt2-1$ , $a_3=\sqrt3-\sqrt2,\ldots,a_n=\sqrt n-\sqrt{n-1},\ldots$ . Entonces $a_1+\cdots+a_n=\sqrt n$ y así la serie $\sum_{n=1}^\infty a_n$ es divergente. Pero puedes probar que $a_n$ es aproximadamente $\frac1{2\sqrt n}$ y que $a_n\to0$ como $n\to\infty$ . Así que hay otra serie cuyos términos tienden a cero, pero es divergente. Espero que esto no sea demasiado doloroso.
La implicación sólo va en una dirección: si $\sum_n a_n<\infty$ entonces $a_n\to 0$ pero no al revés. Como muestran sus ejemplos, si $a_n\to 0$ entonces tanto la convergencia como la divergencia de la serie son posibles.
En cambio, tiene que ver con la velocidad a la que $a_n$ converge a $0$ . Convergencia exponencial (como la $1+\tfrac12+\tfrac14+\cdots$ que escribiste) es extremadamente rápida, por lo que la serie converge. La convergencia polinómica (como $\sum_n 1/n^2,\sum_n 1/n^3$ etc) es mucho más lenta que la exponencial, pero lo suficientemente rápida para que la suma converja cuando la potencia es mayor que $1$ . Pero es demasiado lento cuando la potencia es $1$ o menor.
La intuición detrás de esto es que cuando se suma una expresión polinómica, su grado aumenta en $1$ . Por eso el corte está en el grado $-1$ ya que al sumarlo el corte se traduce en grado $0$ polinomios, que por un lado (ligeramente negativo) permanece acotado, y por el otro (ligeramente positivo) tiende a $\infty$ .
