Demuestre que hay dos enteros positivos distintos tales que: $1394|2^a-2^b$

Question

Demuestre que hay dos enteros positivos distintos tales que: $1394|2^a-2^b$

Estoy seguro de que el principio del encasillamiento se aplica aquí, pero no reconozca los agujeros.Otro enunciado del problema es: demuestre que hay dos enteros positivos $a,b$ tal que: $$2^a\equiv 2^b\pmod {1394}$$
Por supuesto, tenemos $1394$ casos de división mod $1394$ ¿pero qué son las palomas?

Answer 1

Pista:

Considere $2^i \pmod{1394}$ para $1 \leq i \leq \color{blue}{1395}$

Answer 2

Nota $1394=2 \times 17 \times 41$ .

Desde $\varphi(17 \times 41) = 16\times 40 = 640$ ,

entonces $2^{640} \equiv 1 \pmod{697}$ .

Por lo tanto $2^{641} \equiv 2 \pmod{1394}$ .

En otras palabras, $1394 \mid 2^{641}-2^1$ .

Nota. En realidad, podemos hacerlo mejor. Comprobando los divisores de $640$ encontramos que $2^{40} \equiv 1 \pmod{697}$ . Así que $1394 \mid 2^{41}-2^1$ .