En álgebra lineal, los términos espacio vectorial y producto escalar siempre (al menos para mí) aparecen juntos. ¿Puedes darme un ejemplo de un espacio vectorial sin producto escalar? ¿La frase Sea $V$ sea un espacio vectorial sin producto escalar ¿Tiene sentido? ¿Tiene alguna aplicación en matemáticas?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
sewo
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Creo que se trata de un problema terminológico.
Por definición, un espacio vectorial siempre tiene un multiplicación escalar donde multiplicas un vector por un escalar y obtienes un vector.
Sin embargo, los espacios vectoriales pueden venir opcionalmente con un producto interior (o producto punto ) donde se multiplican dos vectores y se obtiene un escalar.
Esta última operación no es necesaria para los espacios vectoriales, y es fácil crear un espacio vectorial sin ella: basta con no definirla. Por ejemplo, "el espacio vectorial de secuencias infinitas de números reales, con suma por coordenadas y multiplicación (escalar)".
En principio, "producto escalar" podría referirse a cualquiera de los dos conceptos, pero en la mayoría de los casos se trataría de un producto interior.
Siempre que tengamos un espacio vectorial, podemos utilizar el axioma de elección para demostrar que es posible elegir algunos producto interno que satisface los axiomas requeridos. Pero, tal y como se suelen utilizar las palabras, el espacio vectorial no "tiene" un producto interior hasta que decidimos hacer tal elección.
ItisNot Xiaoxiao Joy
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En primer lugar, desea que su campo subyacente sea característico $0$ (de lo contrario, la condición $\langle x,x\rangle = 0$ puede tener soluciones no triviales). Los campos más sencillos de característica $0$ son $\Bbb R$ y $\Bbb C$ . Si $V$ es un espacio vectorial de dimensión finita sobre $\Bbb R$ o $\Bbb C$ se puede definir un producto interno sobre él de forma similar al producto interno euclidiano. Aunque no se diga explícitamente que existe un producto interior sobre el conjunto, sigue existiendo. Por lo tanto, en este entorno, no es posible.
Debemos entonces aventurarnos en el reino de los espacios vectoriales de dimensión infinita, y aquí es fácilmente posible. Tomemos nuestro espacio vectorial $V$ es el conjunto de secuencias de números reales tal que la secuencia está acotada, es decir, si $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ es una secuencia, entonces $\sup_n |x_n| < \infty$ . No existe un producto interno en este espacio vectorial que sea compatible con la estructura de la norma.
Dicho esto, se puede definir un producto interno en este espacio vectorial, pero no será compatible con la estructura de la norma. Supongamos que $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ y $(y_n)_{n=1}^{\infty}$ están en $V$ defina $\langle (x_n),(y_n)\rangle$ por
$$\langle (x_n),(y_n)\rangle = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n}x_ny_n.$$
Se trata de un producto interno sobre $V$ . La existencia de la norma no es un accidente y esto nos lleva a la respuesta de H. Malcolm antes mencionada.
