Distribución marginal de la diagonal de una matriz distribuida inversa de Wishart

Question

Supongamos que $X\sim \operatorname{InvWishart}(\nu, \Sigma_0)$ . Me interesa la distribución marginal de los elementos diagonales $\operatorname{diag}(X) = (x_{11}, \dots, x_{pp})$ . Existen algunos resultados sencillos sobre la distribución de submatrices de $X$ (al menos algunos que figuran en Wikipedia). De esto puedo deducir que la distribución marginal de cualquier elemento de la diagonal es Gamma inversa. Pero no he podido deducir la distribución conjunta.

Pensé que tal vez podría ser derivado por la composición, como:

$$p(x_{11} | x_{ii}, i\gt 1)p(x_{22}|x_{ii}, i>2)\dots p(x_{(p-1)(p-1)}|x_{pp})p(x_{pp}),$$

pero nunca llegué a ninguna parte con ello y además sospecho que me estoy perdiendo algo sencillo; parece que esto "debería" saberse pero no he sido capaz de encontrarlo/mostrarlo.

Answer 1

En general se puede descomponer una matriz de covarianza cualquiera en una descomposición de varianza-correlación como
$$ \Sigma = \text{diag}(\Sigma) \ Q \ \text{diag}(\Sigma)^\top = D\ Q \ D^\top$$ Aquí $Q$ es la matriz de correlación con diagonales unitarias $q_{ii} = 1$ . Así, las entradas diagonales de $\Sigma$ son ahora parte de una matriz diagonal de varianzas $D = [D]_{ii} = [\Sigma]_{ii}$ . Dado que las entradas fuera de la diagonal de la matriz de varianza son cero $d_{ij} = 0, \ i \ne j$ la distribución conjunta que se busca es simplemente el producto de las distribuciones marginales de cada entrada diagonal.

Consideremos ahora el modelo estándar de Wishart inverso para un $d$ -matriz de covarianza dimensional $\Sigma$

$$ \Sigma \sim \mathcal{IW}(\nu +d -1, 2\nu \Lambda), \quad \nu > d-1$$

Elementos diagonales de $\sigma_{ii} = [\Sigma]_{ii}$ se distribuyen marginalmente como $$\sigma_{ii} \sim \text{inv-$ \chi^2 $}\left(\nu+d-1,\frac{\lambda_{ii}}{\nu -d + 1}\right)$$

Una buena referencia con una variedad de priors para la matriz de covarianza que se descomponen en diferentes distribuciones de varianza-correlación es la siguiente ici