¿Cómo se formatean las pruebas cuando la respuesta es un contraejemplo?

Question

Supongamos que se pregunta:

Demuestra o encuentra un contraejemplo: la suma de dos enteros es impar

El hecho de que 1 + 1 = 2 es un contraejemplo que refuta esa afirmación. ¿Cuál es el formato adecuado para escribir esto? Voy a proporcionar mi intento.

Teorema: la suma de dos enteros es impar

Prueba:

1 + 1 = 2

\=> la suma de dos enteros puede ser par

Entiendo las matemáticas, pero no estoy seguro de cómo presente un contraejemplo relativo a un teorema inicial. ¿Fue ésta una presentación aceptable de una prueba?

Answer 1

Yo diría algo parecido a:

El resultado propuesto es falso. Aquí hay un contraejemplo...

Answer 2

En estos casos, cuando escribo los deberes, simplemente cambio el enunciado del teorema para que coincida con la verdad. Dado ese problema en mis deberes escribiría

$\textbf{Theorem:}$ No es necesariamente el caso de que la suma de dos enteros sea impar.

$\textbf{Proof:}$ Observe que $1+1=2$ . Desde $1$ es un número entero y $2$ no es impar, hemos demostrado el resultado. $\blacksquare$

Answer 3

Demuestra o encuentra un contraejemplo: la suma de dos enteros es impar.

La afirmación anterior no es cierta y se puede encontrar fácilmente un contraejemplo. Basta con comprobar los primeros enteros positivos para descubrir que $1+1=2$ .

Creo que la idea es que como no es un Prueba no debes preceder el enunciado del contraejemplo con la palabra " Prueba ", como es habitual. El enunciado del contraejemplo puede verse como comentario y puede ser formateado como tal. Por supuesto, la mejor manera de dar formato a los comentarios depende del contexto (trabajo académico, tarea, etc.).

Sin embargo, en general, no hay que preocuparse tanto por este tipo de cosas. Recuerda siempre que el objetivo de la escritura es comunicar claramente una idea al lector. No te preocupes por un correcto manera de dar formato a sus escritos. Sólo preocúpate de que tu formato haga que el significado de tu mensaje claro .

Answer 4

Cite el contraejemplo. Dado que $1 + 1 = 2$ la suma de dos enteros arbitrarios no siempre es impar.

Answer 5

El "teorema" que demuestran, en el caso concreto que dan, es no "la suma de dos enteros Impares es siempre impar". Un "teorema", por definición, es una afirmación verdadera (o al menos demostrable). Así que el "teorema" no puede ser "la suma de dos enteros de impar es siempre impar", porque tu argumento demuestra que esa afirmación es falsa.

De hecho lo que estás demostrando es que "la suma de dos enteros Impares puede ser par". Así que podrías formatearla de la siguiente manera, que sería mejor.

Teorema. La suma de dos enteros Impares puede ser par.

Prueba: El número $1$ es un número entero impar, y $1+1=2,$ y $2$ es un número entero par.

Sin embargo, esta afirmación no merece realmente el nombre de "teorema"; la palabra "teorema" significa "contemplar" y suele reservarse para los resultados que son dignos de contemplar. Mejor sería "proposición" o, en mi opinión, mejor aún sería simplemente "afirmación".

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Nota al margen: Casi seguro que es consciente de ello, pero, por supuesto, podemos hacerlo mejor en esta situación. La suma de cualquier dos enteros Impares siempre estar en paz.

Propuesta. Dejemos que $m$ y $n$ sean enteros Impares. Entonces $m+n$ está en paz.

Prueba: Desde $m$ y $n$ son Impares, existen enteros $k$ y $l$ con $m=2k+1$ y $n=2l+1.$ Por lo tanto, $m+n=(2k+1)+(2l+1)=2(k+l+1).$ Desde $k$ y $l$ son números enteros, también lo es $k+l+1,$ y se deduce que $m+n$ es par, ya que es un múltiplo entero de $2$ .