Mostrar $f$ es uniformemente continua.

Question

Sea $f$ sea continua en $\Bbb{R}$ y que $\lim_\limits{x\to \infty}f(x)-ax=\lim_\limits{x\to -\infty}f(x)-ax=0$ donde $a\in \Bbb{R}$ . Mostrar $f$ es uniformemente continua. Hice un intento pero tiene algunos fallos. Lo único que todavía está bien, supongo, es que, mirando al principio a $[0,\infty)$ hay $M\in \Bbb{R}$ tal que $\forall x>M, |f(x)-ax|<{\epsilon\over 2}$ (O algo así.) También incluye decir que $f$ es uniformemente continua en $[0,M]$ . Le agradecería su ayuda.

Answer 1

Al igual que tu idea, puedes dividir la línea real en dos partes: Una un intervalo compacto de la forma $[-y,y]$ y la otra parte el resto de la línea real. Una función continua sobre un conjunto compacto es uniformemente continua, y si se elige $y$ lo suficientemente grande, entonces su función siempre estará dentro de $\epsilon/3 > 0$ de $ax$ en el segundo subconjunto, por lo que se puede utilizar la continuidad uniforme de la función $ax$ en el segundo subconjunto, de nuevo con el valor $\epsilon / 3$ . A continuación, utilice la desigualdad del triángulo para obtener que los valores de la función están dentro de $\epsilon$ . Lo único que hace que esto parezca un poco turbio es que sigues eligiendo cada vez más grandes $y$ como $\epsilon \to 0$ por lo que tus intervalos compactos son cada vez mayores, pero esto sigue estando bien porque todo lo que tienes que decir es que puedes encontrar ALGUNOS $\delta > 0$ que funciona para un $\epsilon > 0$ .

Answer 2

Creo que has empezado con buen pie.

Estoy bastante oxidado, así que esto es un ejercicio tanto para mí como para ti, y lo que sigue puede ser demasiado lioso. ¡Caveat emptor!

Dicho esto, mi sugerencia sería continuar con la división en dos casos con la que ha empezado, pero modificándola ligeramente, de la siguiente manera:

Tienes tu $M$ en función de un $\epsilon$ . Así que se puede calcular explícitamente, en términos de $\epsilon$ y $a$ , a $\delta_1 > 0$ tal que si $|x|$ , $|y|$ son ambos $> M$ y $|x - y| < \delta_1$ entonces $|f(x) - f(y)| < \epsilon$ .

Ahora sólo tiene que preocuparse si uno u otro de $|x|$ , $|y|$ es $\leqslant M$ . Así, en lugar de $[0, M]$ o $[-M, M]$ considera $[-M - \delta_1, M + \delta_1]$ ; y ahora sólo tiene que preocuparse si ambos $|x|$ , $|y|$ son $\leqslant M + \delta_1$ .

Pero ya te has ocupado de ese caso, esencialmente, así que puedes terminar la prueba a partir de ahí.

Con más detalle:

Elija $M > 0$ para que $|f(x) - ax| < \epsilon/4$ siempre que $|x| > M$ .

(Creo que suelo pegar todos estos " $\cdots/4$ ", " $\cdots/2$ " en después de escribir más de la prueba. De todos modos, eso es lo que estoy haciendo ahora).

Si $|x| > M$ y $|y| > M$ entonces $||f(x) - f(y)| - |ax - ay|| \leqslant |(f(x) - f(y)) - (ax - ay)| < \epsilon/2$ Así que $|f(x) - f(y)| < |a|\cdot|x - y| + \epsilon/2$ .

Tendrá que decidir si redacta esa parte del argumento con más detalle. o con menos detalle de lo que acabo de hacer, porque -supuestamente (¡no tengo mucha experiencia en la entrega de trabajos formales!)- los distintos instructores varían en lo que esperan.

Así que si elegimos $\delta_1 > 0$ para que $|a| \cdot \delta_1 \leqslant \epsilon/2$ (cuidado con lo que escribes, por si $a = 0$ ), entonces tenemos $|f(x) - f(y)| < \epsilon$ siempre que $|x| > M$ y $|y| > M$ y $|x - y| < \delta_1$ .

Ahora elija $\delta_2 > 0$ para que $|f(x) - f(y)| < \epsilon$ siempre que $|x| \leqslant M + \delta_1$ y $|y| \leqslant M + \delta_1$ y $|x - y| < \delta_2$ . Puede hacerlo porque el intervalo $[-M - \delta_1, M + \delta_1]$ es compacto.

(No sé si se espera que utilices esa terminología concreta, pero conoces la continuidad uniforme en intervalos cerrados acotados).

Pero para cualquier $x, y \in \mathbb{R}$ tal que $|x - y| < \delta_1$ tenemos que (i) $|x| > M$ y $|y| > M$ o bien (ii) $|x| \leqslant M + \delta_1$ y $|y| \leqslant M + \delta_1$ .

(¡Pruébalo! No lo des por obvio. Pero la obviedad ayuda a construir la prueba).

Y ahora prácticamente hemos terminado. Toma $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$ y escribe tu conclusión.