No he mirado el documento con mucho detalle, pero mi mejor suposición es que $\partial_{x_i}A$ es un tensor de rango 3, en el sentido de que podemos escribir $$v\cdot\partial_{x_i}A = \lim_{h\to 0} \frac{1}{h}(A[x_1, \ldots,x_i + hv, \ldots,x_p] - A[x_1,\ldots, x_p])$$
O, en notación de índice, escribiendo $a_{ij} = \frac{1}{x_i - x_j}$ tenemos que $$(\partial_{x_l}A)_{ijk} = \partial_{(x_l)^k} (\sum_{m} [(x_i)^m - (x_j)^m]^2)^{-1/2}$$ donde $(x_l)^k$ denota el $k$ -enésima componente del punto $x_l$ . Así que en la conjetura 1 del artículo enlazado, el término dentro del signo de valor absoluto en el primer sumo es, de hecho, un vector, con el signo $i$ y $j$ -ésima componente de la expresión anterior contraída frente a un vector $u$ .
Más intuitivamente, se puede pensar en él como el gradiente en el espacio total proyectado al $k$ -ésima copia de $\mathbb{R}^3$ .
Hay que reconocer que es una notación algo cuestionable y descuidada. Puede que lo haya escrito como la variación $\delta A / \delta x_i$ para superar la desconexión cognitiva de tomar un parcial relativo a un vector, pero aún así depende implícitamente de la estructura euclidiana de $\mathbb{R}^p$ .
