aplicación de la ecuación de Euler-Lagrange / Beltrami

Question

Sea $$S(\theta)=\int_0^{2\pi}\sqrt{\dot \theta^2(t)+\cos^2(\theta(t))}dt$$

a) ¿Qué aspecto tiene la ecuación de Euler-Lagrange para S?

b) Demuestre que las soluciones de la ecuación de Euler-Lagrange vienen dadas por $\theta (t)=\arctan(a\sin(t)+b\cos(t))$ . Utilice la sustitución $u=\tan(\theta)$ .

Lo que hice:

a) Tengo: $$-\frac{\sin\theta\cos\theta}{\sqrt{\dot\theta^2+\cos^2\theta}}-\frac{d}{dt}\frac{\dot\theta}{\sqrt{\dot\theta^2+\cos^2\theta}}=0$$ ¿Es correcto?

b) Tengo para la ecuación de Beltrami $\frac{\dot\theta^2}{\sqrt{\dot\theta^2+\cos^2\theta}}-\sqrt{\dot\theta^2+\cos^2\theta}=c$ . Así que de esto obtengo $-\cos^2\theta=c\sqrt{\dot\theta^2+\cos^2\theta}$ . Ahora con $u=\tan\theta$ Recibo $1/c^2-1=u^2+\dot u^2$ con la regla de la cadena. Creo que he hecho algo mal en la sustitución. ¿Es ment $u(t)=\tan(\theta(t))$ ? Eso es lo que he intentado.

¿Alguien conoce un enlace donde pueda leer algunos ejemplos similares a este problema? ¿Tal vez algunos con una condición de contorno también?

Answer 1

La derivación de la ecuación de Euler-Lagrange y la ecuación de Beltrami son correctas. También he calculado la misma expresión

$$\frac{1}{c^2} -1 = u^2 + \dot u^2.$$

La reordenación da

$$\frac{\dot u}{\sqrt{A^2 - u^2}} = 1$$

para alguna constante $A$ . Integrar y utilizar la sustitución $u = A \sin\alpha $ da

$$ \sin \left(\frac{u}{A}\right) = t+ B\Rightarrow u = A \sin (t+B) = a\sin t + b \cos t$$

para algunos $a, b$ . En $\theta = \arctan u$ da la respuesta correcta.

Obsérvese que la restricción de contorno no afecta a los cálculos anteriores: la ecuación de Euler-Lagrange y la ecuación de Beltrami se satisfacen en todo el intervalo, independientemente de la condición de contorno que se utilice.

Pero si se le dan algunas restricciones de contorno, puede ir más allá y resuelve $a$ y $b$ .