Una valoración euclidiana en un dominio euclidiano.

Question

Aquí está toda la información necesaria para iniciar este problema:

Demuestre o refute la siguiente afirmación:

Si $v$ es una valoración euclídea en un dominio euclídeo $D$ entonces $\{a\in D: v(a)>v(1)\}\cup\{0\}$ es un ideal de $D$ .

He aquí algunas de mis reflexiones sobre este problema que me está costando arrancar.

Sabemos que un dominio euclidiano está definido por $D$ y la valoración se denota por v respectivamente. Hay dos condiciones que podrían preocuparnos si para algunos $a,b$ elementos no nulos en $D$ entonces $v(a)$ es menor o igual que $v(ab)$ . Además, si $a,b$ están en $D$ y $b$ no es $0$ entonces debe haber algún $q,r$ en $D$ que satisfacen el algoritmo euclidiano $a=bq+r$ y donde $r=0$ o $v(r)<v(b)$ .

¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

No es un ideal en general. El problema es que no necesita ser cerrado bajo adición.

Más concretamente, supongamos que $D$ es un dominio euclidiano que no es un campo y que no es local, es decir, existen al menos dos elementos primos (no asociados) $p_1, p_2 \in D$ junto con una valoración euclidiana $v$ . Entonces, puesto que $p_1, p_2$ son no invertibles, es fácil ver que $v(p_i)>1, \; i=1,2$ . Desde $p_1, p_2$ son primos no asociados, son coprimos y, puesto que $D$ es un PID, existen elementos $\alpha, \beta \in D$ tal que $\alpha p_1+\beta p_2=1$ . Pero entonces el conjunto $M:=\{a \in D \;|\; v(a)>1\}$ no es cerrado por adición, ya que $\alpha p_1, \beta p_2 \in M$ y $1 \notin M$ .