Aquí está Prob. 3, Sec. 31, en el libro Topología por James R. Munkres, 2ª edición:
Demostrar que toda topología de orden es regular.
En primer lugar, he aquí algunas definiciones pertinentes.
Juego ordenado:
Sea $X$ sea un conjunto no vacío, y sea $<$ sea una relación sobre $X$ tal que
(i) para cada elemento $x \in X$ no es cierto que $x < x$ o lo que es lo mismo, $x \not< x$ ,
(ii) para dos elementos distintos cualesquiera $x$ et $y$ de $X$ o bien $x < y$ o $y < x$ pero no ambos, y
(iii) para cualquier elemento $x$ , $y$ y $z$ de $X$ tal que $x < y$ et $y < z$ también tenemos $x < z$ .
Entonces $<$ se dice que es un relación de pedido en $X$ (más precisamente una relación de orden simple o total), y el conjunto $X$ con una relación de orden $<$ se dice que es un conjunto ordenado (más concretamente, un conjunto simple o totalmente ordenado).
He aquí la definición de predecesor inmediato y sucesor inmediato de un elemento en un conjunto simplemente ordenado:
Sea $x$ sea un elemento de un conjunto simplemente ordenado $X$ con relación de orden $<$ . Si existe un elemento $w \in X$ tal que el intervalo abierto $(w, x)$ resulta ser el conjunto vacío, entonces $w$ se dice que es un predecesor inmediato de $x$ en $X$ . Y, si existe un elemento $y \in X$ tal que el intervalo abierto $(x, y)$ resulta ser el conjunto vacío, entonces $y$ se dice que es un sucesor inmediato de $x$ en $X$ . [También se puede demostrar que $x$ puede tener como máximo un predecesor inmediato y un sucesor inmediato en $X$ aunque no tendremos mucho uso para ninguno de estos hechos].
Véase la sección 3 de Munkres.
He aquí la definición de topología de orden.
Sea $X$ sea un conjunto simplemente ordenado que tiene más de un elemento y con una relación de orden $<$ . Entonces la topología de orden en $X$ es la que tiene como base la colección formada por los tres tipos de conjuntos siguientes:
(i) todos los intervalos abiertos $(a, b) \colon= \{ \ x \in X \, \colon \, a < x < b \ \}$ para cualquier elemento $a$ et $b$ de $X$ tal que $a < b$ ,
(ii) si $X$ tiene un elemento más pequeño $a_0$ entonces todos los intervalos cerrados-abiertos $\left[a_0, b\right) \colon= \left\{ \ x \in X \, \colon \, a_0 \leqq x < b \ \right\}$ para cualquier elemento $b \in X$ tal que $a_0 < b$ y
(iii) si $X$ tiene un elemento mayor $b_0$ entonces todos los intervalos abiertos-cerrados $\left(a, b_0 \right] \colon= \left\{ \ x \in X \, \colon \, a < x \leqq b_0 \ \right\}$ para cualquier elemento $a \in X$ tal que $a < b_0$ .
Si $X$ no tiene el elemento más pequeño, entonces no habrá conjuntos del tipo (ii) en la base; si $X$ no tiene ningún elemento mayor, entonces no habrá conjuntos del tipo (iii).
Véase la sección 14 de Munkres.
Por último, he aquí la definición de espacio regular.
Un espacio topológico $X$ se dice regular si
(i) subconjuntos únicos (y, por tanto, subconjuntos finitos) de $X$ se cierran en $X$ y
(ii) para cada elemento $x \in X$ y todo conjunto cerrado $B$ de $X$ tal que $x \not\in B$ existen conjuntos abiertos disjuntos $U$ et $V$ en $X$ tal que $x \in U$ et $B \subset V$ .
Véase la sección 31 de Munkres.
En lo que sigue, utilizaremos repetidamente el siguiente resultado:
Sea $X$ sea un conjunto no vacío con una relación de orden $<$ y que $u$ et $v$ dos elementos cualesquiera de $X$ tal que $u < v$ . Entonces los cierres de los cuatro intervalos determinados por $u$ et $v$ a saber, los cierres $\overline{(u, v)}$ , $\overline{[u, v)}$ , $\overline{(u, v]}$ y $\overline{[u, v]}$ están todas contenidas en el intervalo cerrado $[u, v]$ .
Véase Prob. 5, Sec. 17, en Munkres. Aquí es mi post de Math SE sobre este problema.
Mi intento:
Sea $X$ sea un conjunto simplemente ordenado con relación de orden $<$ y que $X$ tienen la topología de orden.
Primero demostramos que cualquier conjunto de $X$ está cerrado. Sea $a \in X$ . A continuación, observamos que el conjunto $X \setminus \{ a \}$ es igual a $$ \begin{cases} \left( \bigcup_{x \in X \mbox{ and } x < a} (x, a) \right) \cup \left( \bigcup_{y \in X \mbox{ and } a < y} (a, y) \right) \ \\ \qquad \mbox{ if $a$ is neither a smallest nor a largest element of $X$}, \\ \bigcup_{y \in X \mbox{ and } a < y} (a, y) \ \\ \qquad \mbox{ if $a$ is a smallest element of $X$}, \\ \bigcup_{x \in X \mbox{ and } x < a} (x, a) \ \\ \qquad \mbox{ if $a$ is a largest element of $X$}. \end{cases} $$ Así $X \setminus \{ a \}$ al ser una unión de conjuntos abiertos básicos, es abierto en cada uno de estos tres casos.
Alternativamente, observamos que $X$ en la topología de orden es un espacio de Hausdorff (por el Teorema 17.11 de Munkres), y observamos además que los conjuntos de un punto en el espacio de Hausdorff $X$ son cerradas (por el teorema 17.8 de Munkres).
Sea $x$ sea un punto de $X$ et $U$ sea un conjunto abierto de $X$ tal que $x \in U$ . Necesitamos encontrar un conjunto abierto $V$ en $X$ tal que $ x \in V$ et $\overline{V} \subset U$ en virtud del lema 31.1 (a) de Munkres.
Ahora se plantean los tres casos siguientes según $x$ no es (1) ni un elemento menor ni un elemento mayor de $X$ (2) el elemento más pequeño de $X$ o (3) un elemento mayor de $X$ .
Caso 1: Supongamos que $x$ no es ni el menor ni el mayor elemento de $X$ . Desde $x \in U$ y puesto que $U$ está abierto en $X$ existe un intervalo abierto $(a, b)$ de $X$ tal que $$ x \in (a, b) \subset U. \tag{0}$$
[P.D.: He hecho algunas correcciones tras leer uno de los primeros comentarios. Inicialmente había considerado sólo tres subcasos en el Caso 1, mientras que hay cuatro subcasos que hay que estudiar].
Ahora se plantean los cuatro subcasos siguientes en función de si $x$ no tiene (i) ni predecesor ni sucesor inmediato, (ii) predecesor inmediato pero no sucesor inmediato, (iii) sucesor inmediato pero no predecesor inmediato, o (iv) tanto predecesor como sucesor inmediato en $X$ .
Caso 1 (i): Supongamos $x$ no tiene predecesor inmediato ni sucesor inmediato en $X$ . Entonces como $a < x < b$ hay elementos $c$ et $d$ en $X$ tal que $$ a < c < x < d < b. \tag{1}$$ Entonces pongamos $$V \colon= ( c, d ).$$ Entonces $V$ es un conjunto abierto en $X$ tal que $x \in V$ . Además, también observamos que $$ \overline{V} \subset [ c, d], \tag{2}$$ y por (1) también tenemos $$ [c, d] \subset (a, b). \tag{3} $$ Así pues, de (0), (1), (2) y (3) podemos concluir que $ x \in V$ et $\overline{V} \subset U$ .
Caso 1 (ii): Supongamos que $x$ tiene un predecesor inmediato $x-1$ pero sin sucesor inmediato en $X$ . Entonces como por (0) tenemos $a < x < b$ por lo que también debemos tener $$ a \leqq x-1 < x < b. \tag{1}$$ Y, como $x$ no tiene sucesor inmediato en $X$ y como $x < b$ por lo que existe un elemento $d \in X$ tal que $x < d < b$ y por lo tanto de (1) también tenemos $$ a \leqq x-1 < x < d < b. \tag{2} $$ Ahora como $x-1$ es un predecesor inmediato en $X$ de $x$ por lo que tenemos la igualdad $$ (x-1, d) = [x, d). \tag{3} $$
Pongamos ahora $$ V \colon= (x-1, d) = [x, d). $$ Este conjunto $V$ es un conjunto abierto en $X$ y a partir de (2) y (3) tenemos $x \in V$ y también $$ \overline{ V} \subset [x, d] \subset (a, b), $$ que junto con (0) aobve implica que $\overline{V} \subset U$ .
Caso 1 (iii): Supongamos que $x$ tiene un sucesor inmediato $x+1$ pero ningún predecesor inmediato en $X$ . Entonces como por (0) arriba tenemos $a < x < b$ también debemos tener $$ a < x < x+1 \leqq b. \tag{1} $$ Y como $x$ no tiene un predecesor inmediato en $X$ y como $a< x$ por lo que existe un elemento $c \in X$ tal que $a < c < x$ y entonces a partir de (1) también tenemos $$ a < c < x < x+1 \leqq b. \tag{2} $$ En $x+1$ es el sucesor inmediato en $X$ de $x$ por lo que tenemos la igualdad $$ (c, x+1) = (c, x]. \tag{3} $$
Ahora pongamos $$ V \colon= (c, x+1) = (c, x]. $$ Entonces $V$ es un conjunto abierto en $X$ y a partir de (2) y (3) obtenemos $x \in V$ y también $$ \overline{V} \subset [c, x] \subset (a, b), $$ que junto con (0) implica de nuevo que $\overline{V} \subset U$ .
[Inserto el caso 1 (iv) sólo después de leer el primer comentario a continuación].
Caso 1 (iv): Supongamos que $x$ tiene un predecesor inmediato $x-1$ y un sucesor inmediato $x+1$ en $X$ . Entonces por (0) anterior como $a < x < b$ por lo que también debemos tener $$ a \leqq x-1 < x < x+1 \leqq b. \tag{1}$$ Entonces $$(x-1, x+1) = \{x\}. \tag{2}$$ Así que si ponemos $$V \colon= (x-1, x+1) = \{ x \}, $$ entonces $V$ es un conjunto abierto en $X$ y ser un conjunto único, $V$ también está cerrado en $X$ y por lo tanto de (1) tenemos $$ \overline{V} = \{ x \} \subset (a, b), $$ que junto con (0) implica que $\overline{V} \subset U$ .
Caso 2: Supongamos que $x$ es el elemento más pequeño de $X$ . Entonces como $x \in U$ y como $U$ es un conjunto abierto de $X$ por lo que existe un elemento $b \in X$ tal que $x < b$ y también $$ [x, b) \subset U. \tag{0}$$
Ahora se plantean los dos subcasos siguientes en función de si $x$ (i) no tiene sucesor inmediato en $X$ o (ii) un sucesor inmediato en $X$ .
Caso 2 (i): Supongamos que $x$ no tiene sucesor inmediato en $X$ . Entonces como $x < b$ por lo que existe un elemento $d$ en $X$ tal que $$ x < d < b. \tag{1} $$
Pongamos $$ V \colon= [x, d). $$ Entonces $V$ es un conjunto abierto en $X$ tal que $x \in V$ y también $$ \overline{V} \subset [x, d] \subset [x, b), $$ que junto con (0) implica que $\overline{V} \subset U$ .
Caso 2 (ii): Supongamos que $x$ tiene un sucesor inmediato $x+1$ en $X$ . Entonces, como $x < b$ también tenemos $$ x < x+1 \leqq b, \tag{1}$$ y entonces tenemos la igualdad $$ [x, x+1) = \{ x \}. \tag{2}$$ Pongamos $$ V \colon= [x, x+1) = \{ x \}.$$ Entonces $V$ es un conjunto abierto de $X$ tal que $x \in V$ y puesto que $V$ también está cerrado en $X$ por lo que a partir de (1) también tenemos $$ \overline{V} = \{ x \} \subset [x, b), $$ que junto con (0) implica también que $\overline{V} \subset U$ .
Nótese que aquí hemos utilizado el hecho de que como los conjuntos de un punto en $X$ son cerradas y puesto que en virtud de (2) anterior $V$ es un conjunto de un punto en $X$ por lo que tenemos $\overline{V} = V$ mismo. Por favor, consulte la Sec. 17 en Munkres, específicamente el Teorema 17.6 y el Corolario 17.7 juntos.
Caso 3: Supongamos que $x$ es un elemento mayor de $X$ . Entonces como $x \in U$ y como $U$ es un conjunto abierto de $X$ por lo que existe un elemento $a \in X$ tal que $a < x$ y también $$ (a, x ] \subset U. \tag{0}$$
Ahora se plantean los dos subcasos siguientes en función de si $x$ no tiene (i) ningún predecesor inmediato en $X$ o (ii) un predecesor inmediato en $X$ .
Caso 3 (i): Supongamos que $x$ no tiene un predecesor inmediato en $X$ . Entonces como $a < x$ por lo que existe un elemento $c$ en $X$ tal que $$ a < c < x. \tag{1} $$
Pongamos $$ V \colon= (c, x]. $$ Entonces $V$ es un conjunto abierto en $X$ tal que $x \in V$ y también $$ \overline{V} \subset [c, x] \subset (a, x ], $$ que junto con (0) implica que $\overline{V} \subset U$ .
Caso 3 (ii): Supongamos que $x$ tiene un predecesor inmediato $x-1$ en $X$ . Entonces, como $a < x$ también tenemos $$a \leqq x-1 < x, \tag{1}$$ y entonces tenemos la igualdad $$ (x-1, x ] = \{ x \}. \tag{2}$$ Pongamos $$ V \colon= (x-1, x ] = \{ x \}. $$ Entonces $V$ es un conjunto abierto de $X$ tal que $x \in V$ y a partir de (1) también tenemos $$ \overline{V} = \{ x \} \subset (a, x ], $$ que junto con (0) implica también que $\overline{V} \subset U$ .
Nótese que aquí también hemos utilizado el hecho de que como los conjuntos de un punto en $X$ son cerradas, en virtud de (2) tenemos $\overline{V} = V$ sí mismo.
Así, en cada uno de los casos (y subcasos) posibles, hemos demostrado que, para cualquier punto $x \in X$ y para cualquier conjunto abierto $U$ de $X$ tal que $x \in U$ existe un conjunto abierto $V$ de $X$ tal que $x \in V$ et $\overline{V} \subset U$ .
De ahí que por el Lemma 31.1 (a) de Munkres cualquier conjunto totalmente ordenado $X$ en la topología del orden es regular.
¿Es correcta en general esta prueba mía bastante larga? Si es así, ¿es también correcta y precisa en todos y cada uno de sus detalles? ¿Es mi presentación lo suficientemente clara y elemental?
Si no es así, ¿en qué parte del escrito anterior hay problemas o errores?
