La composición de dos funciones no es conmutativa

Question

Siempre me han demostrado que la composición de dos funciones es, en general, no conmutativa con un contraejemplo. Pero, ¿puede dar una prueba más general de esta afirmación (es decir, que no se basa en un contraejemplo específico)?

Answer 1

Funciones $f$ et $g$ no conmutan si para algún $x$ , $g(f(x)) \ne f(g(x))$ . Tome cualquier $f$ tal que $f(x) \ne x$ para algunos $x$ . Ahora $g(f(x))$ puede elegirse independientemente de $g(x)$ y, en particular, puede ser un elemento distinto de $f(g(x))$ .

Answer 2

No está claro a qué se refiere con la pregunta. Has demostrado que la composición de funciones no conmuta en general, porque si lo hiciera en general, funcionaría todo el tiempo, y has demostrado que no lo hace.

Cualquier operación binaria asociativa con identidad puede "representarse" como composición de funciones.

Sea $\cdot:X\times X\to X$ mediante una operación binaria asociativa. Definir para cada $x\in X$ una función $f_x:X\to X$ como $f_x(y)=x\cdot y$ . Entonces $f_x\circ f_y = f_{x\cdot y}$ . Si $\cdot$ tiene una identidad correcta, entonces $f_x=f_y$ si $x=y$ .

Así que si es posible tener una operación binaria con identidad que no conmute, entonces la composición de funciones no conmuta.

Answer 3

Bueno, puedo darte una condición necesaria para $f$ et $g$ para conmutar, y puede que le resulte obvio que esta condición necesaria no siempre se cumple:

Para $f$ et $g$ para conmutar, debemos tener para todos $x$ : $$ \left( \left. \frac{df(y)}{dy} \right|_{y=g(x)} \right) \frac{dg}{dx} = \left( \left. \frac{dg(y)}{dy} \right|_{y=g(x)} \right) \frac{df}{dx} $$ (Incluso cuando se cumple esta condición, lo único que se sabe es que $f(g(x)) = g(f)x)) + C$ para alguna constante $C$ .)

La razón por la que la gente da contraejemplos, cuando se puede encontrar uno fácil, es que esto sitúa claramente la proposición en la categoría de falsa, y también suele proporcionar alguna idea de por qué es falsa. La prueba por contraejemplo no tiene nada de malo; todos los matemáticos la aceptan, siempre que se pueda demostrar que el contraejemplo contradice realmente la proposición.

(Esto contrasta con la demostración mediante la suposición de la hipótesis y la derivación de una contradicción, que es aceptable para el 99,9% de los matemáticos pero se considera de mal gusto para algunos lógicos luristas).

Answer 4

La contradicción más evidente que se me ocurre es la siguiente:

Si todas las funciones conmutan, todo grupo es abeliano.

Lo cual es claramente falso. La prueba de esta implicación es sencilla:

Tomemos dos elementos cualesquiera $a$ et $b$ de un grupo $G$ y definir las funciones $f_a$ et $f_b$ como sigue: $$f_a(x)=ax$$ $$f_b(x)=bx.$$ Si todas las funciones, incluidas $f_a$ et $f_b$ conmutada, entonces, donde $e$ es la identidad, tenemos $$f_a(f_b(e))=f_b(f_a(e))$$ $$f_a(b)=f_b(a)$$ $$ab=ba.$$ ¡Eso facilita el álgebra!