Estructuras algebraicas, que no respeta el isomorfismo

Question

Una de las primeras cosas que un estudiante aprende en el Álgebra es isomorfismo, y parece que muchos de los objetos en el álgebra se definen hasta isomorfismo.

Entonces viene como un choque leve (al menos para mí) que el cociente de los grupos no respetan isomorfismo, en el sentido de que si $G$ es un grupo, y $H$ $K$ son isomorfos normal subgrupos, $G/H$ $G/K$ no pueden ser isomorfos. (ver Isomorfo cociente de grupos)

Mis dos preguntas son:

1) ¿Qué otras algebraicas "estructuras" o "operaciones" no respetan isomorfismo?

2) Filosofía (o de forma heurística), ¿por qué hay estructuras algebraicas, que no respeta el isomorfismo? Es esta supuesta a ser sorprendente o no es sorprendente? A me $G/H$ no isomorfo a $G/K$, aunque entiendo que el contraejemplo, es tan sorprendente como $\frac{2}{1/2}\neq\frac{2}{0.5}$.

Gracias por la ayuda!

Answer 1

El problema es que usted tiene la equivocada noción de isomorfismo!

No es suficiente con que $H$ $K$ ser isomorfo como grupos — lo que queremos es que las incrustaciones $H \to G$ $K \to G$ a ser isomorfo como diagramas de grupos: en este caso tenemos un diagrama conmutativo

$$ \requieren{AMScd} \begin{CD} H & @>1>> G \\ @VV \varphi V @VV \theta V \\ K & @>1>> G \end{CD} $$

donde $\varphi$ $\theta$ son isomorphisms. Si esto es cierto, entonces $\bar{\theta} : G/H \to G/K$ va a ser una buena definición de isomorfismo.

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Más en general, existe una noción de homomorphism entre dichos diagramas: si tenemos dos grupo homomorphisms $A \xrightarrow{f} B$$C \xrightarrow{g} D$, luego de un homomorphism desde el primero al último es un conmutativa de la plaza

$$ \requieren{AMScd} \begin{CD} A & @>f>> B \\ @VV \varphi V @VV \theta V \\ C & @>g>> D \end{CD} $$

es decir, un homomorphism de $f$ $g$es un par $(\varphi, \theta)$ de los del grupo homomorphisms con la propiedad de que $\theta \circ f = g \circ \varphi$.

Tal homomorphisms componer de la manera obvia, y la identidad homomorphism es la ubicación de $\varphi$ $\theta$ son mapas de identidad. Un isomorfismo es una invertible homomorphism, que en este caso significa que los dos componentes del grupo homomorphisms son invertible.

Answer 2

Para un ejemplo muy sencillo de esto: $2\mathbb{Z}$ $3\mathbb{Z}$ son isomorfos como abelian grupos, sino $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ no es isomorfo a $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$.

Bien, entonces, ¿por qué?

El concepto importante aquí es que de una rebanada de la categoría. El punto es que $2\mathbb{Z}$ $3\mathbb{Z}$ no son sólo objetos de $\mathbf{Ab}$, en realidad son objetos de la rebanada de la categoría $\mathbf{Ab}/\mathbb{Z}$ ($/$ no significa que un cociente, es decir, una coma categoría.) Vistos como objetos de $\mathbf{Ab}/\mathbb{Z}$, los objetos $2\mathbb{Z}$ $3\mathbb{Z}$ no son isomorfos.

La lección, en realidad, es que si estamos acaba de dar a abelian grupos $Y$$X$, el cociente $X/Y$ no es automáticamente bien definida, necesitamos tener una distinguida forma de ver el $Y$ como un objeto de $\mathbf{Ab}/X$. En otras palabras, necesitamos un distinguido morfismos $f:Y \rightarrow X$. Probablemente es mejor asumir $f$ es inyectiva, demasiado, pero estrictamente hablando, esto no es realmente necesario.

Answer 3

1) ver esto para algunos no-ejemplos

2) Como drhab:

"La afirmación de que dos distintos subgrupos normales son isomorfos deja abierta cómo estos subgrupos están relacionados con el grupo original."

Un subgrupo normal $H$ no es "sólo" un cierto subconjunto de $G$, pero siempre viene con un monomorphism $H\to G$, la inclusión. Usted puede pensar en esto de morfismos como el "real" de los subgrupos. Dos monos $h : H \to G$ $k : K \to G$ son isomorfos si existe un grupo de isomorfismo $i : H \to K$, tal que (!) $k\circ i = h$. Si dos grupos son isomorfos en esto de la moda, a continuación, los cocientes $G/H$ $G/K$ debe ser demasiado.

Answer 4

Sé que ya hay excelentes respuestas que lidiar con la matemática de la pregunta aquí sobre el cociente de los grupos, pero me gustaría referirme a la parte de la pregunta acerca de la 'intuición'.

Filosófica (o de forma heurística), ¿por qué hay estructuras algebraicas, que no respeta el isomorfismo?

Si desea una estructura-la preservación de mapa de$T$$U$, entonces usted necesita para conservar toda la estructura. Si $T = f(S,A)$$U = f(S,B)$, entonces claramente no es suficiente para tener $A,B$ isomorfo, ya que sólo garantiza que el tamaño y la estructura interna de $A,B$ son los mismos, y cualquier estructura adicional que $f$ imbuye su salida puede ser completamente 'desconocido' a $A,B$.