Estoy buscando referencias para autoaprender la demostración del teorema de Kronecker-Weber de una forma que requiera el menor número de prerrequisitos y que se pueda entender fácil y agradablemente. Por favor, sugiera referencias y explique por qué son buenas. Además, sería estupendo si pudieras decirme cuáles serían los temas/ideas centrales en cualquiera (o en la mayoría) de estos enfoques.
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XubuntuLover
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Escribí mi tesis de licenciatura sobre el teorema de Kronecker-Weber, así que me he hecho esta pregunta muchas veces. La forma estándar, como menciona @DietrichBurde, es demostrar la versión local, que es mucho más fácil porque $p$ -las extensiones de campo son muy sencillas. Por ejemplo, nunca tienes problemas de división de ideales primos, ya que sólo tienes uno, y siempre que el ideal primo esté unramificado en una extensión, tu extensión es inmediatamente ciclotómica (¡!).
Que yo sepa, la referencia canónica es el libro de Washington Introducción a los campos ciclotómicos en particular el capítulo 14, que es casi totalmente autónomo. Sutherland ofrece una versión algo más detallada de la misma demostración en sus apuntes del curso de Teoría de Números I, disponibles gratuitamente en el sitio web del MIT https://ocw.mit.edu/courses/18-785-number-theory-i-fall-2021/pages/lecture-notes/ . La conferencia 20 es la prueba. Da más detalles, pero también remite a las notas de la lección anterior ( conferencia n para $n<20$ ). El lema final de la prueba lo deja como ejercicio, lo que es un poco molesto - aquí Washington es mejor.
Las notas de Dietrich Burde también se basan en la prueba de Washington.
Si no tiene experiencia con $p$ -Sin embargo, esto puede parecer un poco desalentador. Si no desea estudiar $p$ -adics por el momento (aunque en algún momento es muy probable que resulte imposible evitarlo), existe una prueba esbozada en los ejercicios de Marcus' Campos numéricos capítulo 4, evitando por completo el caso local, utilizando la teoría de la ramificación superior. Requiere un buen rato de trabajo para rellenar los huecos, pero te guía bastante bien a través de él. Son los ejercicios 29 a 36.
lhf
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