Ejemplos no triviales de variedades de Hilbert y Banach

Question

El semestre pasado estudié geometría diferencial y, como me gusta bastante el análisis funcional, me pregunté si se podría ampliar la teoría a los espacios de Hilbert o Banach, ya que se podría utilizar la derivada de Frechet para hacer definiciones similares. Así que utilicé Google y encontré un artículo de Wikipedia sobre los manifolds de Banach. Son el tipo de objetos que tenía en mente, pero se daban algunos ejemplos que parecían bastante triviales.

Se dieron ejemplos: Los espacios de Banach son colectores de Banach, los subconjuntos abiertos de los espacios de Banach son colectores de Banach. Ambos ejemplos facilitan el mapa de identidad como gráfico y, por tanto, son bastante triviales.

Así que mi pregunta es si hay ejemplos no triviales que no sean patológicos en el sentido de que no sean simplemente interesantes como ejemplos no triviales. ¿Hay aplicaciones reales para esa teoría o es sólo una especie de tontería abstracta. Agradecería mucho alguna aportación :)

Answer 1

En el caso de las variedades de Hilbert, los espacios de bucles de las variedades habituales son ejemplos importantes. El espacio de $H^{1,2}$ por ejemplo ( bucles con una derivada en $L^2$ ). Otro ejemplo es el caso de los espacios de bucles de un submanifold dado de $\bf R^n$ . Bucles continuos en $\bf R^n$ es un $L^2$ espacio (de Hilbert) (series de Fourier). El conjunto de bucles contenidos en un submúltiple es un submúltiple de Hilbert.