Derivar la unidad de la unión

Question

Al aprender sobre functores adjuntos $C \underset{R}{\overset{L}{\rightleftarrows}} D$ conocemos un isomorfismo de bifunctores $$\text{Hom}_D(L(\cdotp), \cdotp) \simeq \text{Hom}_C(\cdotp, R(\cdotp)).$$

Supongamos que llamamos a este isomorfismo $\theta$ y supongamos que queremos derivar de $\theta$ la unidad y el condit. La forma en que mi libro lo hace es, dado $X \in C$ , toma el mapa que lleva $X$ a $\theta_{X,LX}(\text{Id}_{LX}) \in \text{Hom}_{C}(X, RLX)$ . Mi libro afirma ahora que este morfismo en $C$ es natural en $X$ . Supongo que quieren decir que para $f \in \text{Hom}_C(X,Y)$ el siguiente diagrama conmuta:

$$\require{AMScd} \begin{CD} X @>\theta_{X,LX}(\text{Id}_{LX})>> RLX \\ @VfVV @VVRL(f)V\\ Y @>\theta_{Y,LY}(\text{Id}_{LY})>> RLY \end{CD}$$

¿Cómo puedo ver que esto conmuta? Presumiblemente proviene de la naturalidad de $\theta$ de alguna manera...

Answer 1

Más o menos Ambas composiciones de $X$ a $RLY$ en el diagrama coinciden con $\Theta_{X,LY}(L(f))$ como se deduce de la naturalidad de $\Theta$ en ambas variables.

Algunos detalles Por ejemplo, la naturalidad de $\Theta_{X,-} : \text{Hom}_{\mathcal D}(LX,-)\cong\text{Hom}_{\mathcal C}(X,R(-))$ da $R(Lf)\circ\Theta_{X,LX}(\text{id}_{LX})=\Theta_{X,LY}(Lf\circ\text{id}_{LX})=\Theta_{X,LY}(Lf)$ para ello, obsérvese que el LHS es la imagen de $\Theta_{X,LX}(\text{id}_{LX})\in\text{Hom}_{\mathcal C}(X,RLX)$ bajo el mapa $R(Lf)\circ -: \text{Hom}_{\mathcal C}(X,RLX)\to\text{Hom}_{\mathcal C}(X,RLY)$ inducida por $Lf: LX\to LY$ a través del functor $\text{Hom}_{\mathcal C}(X,R(-))$ .