¿Cuál es el operador que se llama?

Question

Si $x \cdot 2 = x + x$

y $x \cdot 3 = x + x + x$

y $x^2 = x \cdot x$

y $x^3 = x \cdot x \cdot x$

Hay un operador $\oplus$ tal forma que:

$x \oplus 2 = x^x$

y $x \oplus 3 = {x^{x^x}}$?

También, hay un nombre para un conjunto de operadores ops donde...

Ops(1) es la adición

Ops(2) es la multiplicación

Ops(3) es la exponenciación

Ops(4) es $\oplus$

...y así sucesivamente

También, hay una rama de las matemáticas que en realidad se refiere a este tipo de preguntas? Tiene estas preguntas ya han sido respondidas como hace 2000 años?

Answer 1

Esta operación ${\rm Ops}(4)$ se llama tetration, de la raíz griega tetra significado de cuatro; a veces también se llama "el poder de la torre". También hay muchas otras generalizaciones de este tipo de secuencia; Knuth de la flecha hacia arriba notación da $a^{a^{a^a}}=a\uparrow\uparrow4$, por lo que el $a\uparrow\uparrow n$ es el tetration operación. Mediante la adición de más de flechas usted obtener pentation y así sucesivamente, y los Conway encadenado flecha notación generaliza esta aún más.

FYI, por "el poder de la-ación" la palabra que estás buscando es la exponenciación.

Answer 2

Más general de la función que combina todos los operadores ha sido definida por Ackermann:

$ \varphi(m,n,p) = \begin{cases} \varphi(m, n, 0) = m + n \\ \varphi(m, 0, 1) = 0 \\ \varphi(m, 0, 2) = 1 \\ \varphi(m, 0, p) = m &\text{ for } p > 2 \\ \varphi(m, n, p) = \varphi(m, \varphi(m, n-1, p), p - 1) &\text{ for } n > 0 \text{ and } p > 0. \end{casos} $

Así, por $p = 0, 1, 2$ consigue

$\phi(m, n, 0) = m + n $
$\phi(m, n, 1) = m \cdot n $
$\phi(m, n, 2) = m ^ n $

y

$\phi(m, n, 3) = \overbrace{{{m ^ m} ^ m} ^ {...}}^{n}$

Answer 3

Es conocido como un tetration, y normalmente se escribe como $^na$ n, donde n es la altura de la potencia de la torre. Es el cuarto hyperoperation.

El cero hyperoperation es la función sucesor, y el primero es el cero hyperoperation a afirmar, y así sucesivamente

Una forma más general para definir el enésimo hyperoperation es, usando la notación, $H_n(a,b)$ n, donde n es el n-ésimo hyperoperation,

${\displaystyle H_{n}(a,b)={\begin{cases}b+1&{\text{if }}n=0\\a&{\text{if }}n=1{\text{ and }}b=0\\0&{\text{if }}n=2{\text{ and }}b=0\\1&{\text{if }}n\geq 3{\text{ and }}b=0\\H_{n-1}(a,H_{n}(a,b-1))&{\text{if }n\in\mathbb{N},n>3}\end{cases}}}$

Algunas notaciones para hyperoperations son(por $H_n(a,b)$:

1. Notación de corchetes: $a[n]b$
2. Cuadro de notación: $a{\,{\begin{array}{|c|}\hline {\!n\!}\\\hline \end{array}}\,}b$
3. Nambiar la notación : $a\otimes ^{n-1}b$
4. Knuth flecha arriba notación: $a\uparrow^{n-2}b$
5. Goodstien la notación: $G(a,b,n)$
6. Conway encadenado flecha notación: $a\rightarrow b\rightarrow (n-2)$
7. Bowers explosión función array: $\{a,b,n,1\}$
8. Original de la función de Ackermann: ${\begin{matrix}\phi (a,b,n-1)\ {\text{ for }}1\leq n\leq 3\\\phi (a,b-1,n-1)\ {\text{ for }}n\geq 4\end{matrix}}$