Duda en el estudio de la convergencia uniforme de $\sum_{k \geq 2} e^{kx}$ : límite de un sumo que es $\infty$

Question

La serie $\sum_{k \geq 2} e^{nx}$ converge puntualmente a su suma $S(x)=\frac{e^{2x}}{1-e^x}$ para todos $x \in (-\infty,0)$ porque es una serie geométricaa y $-1<e^{x}<1 \iff x<0$ .

Tengo una duda sobre la convergencia uniforme: el sumo de las sumas parciales es $$\sup_{x \in (-\infty,0)} \left|S_n(x)-S(x)\right|=\sup_{x\in(-\infty,0)} \left\{\sum_{k=n+1}^{\infty} e^{kx}\right\}=\sup_{x\in(-\infty,0)} \frac{e^{x(n+1)}}{1-e^x}$$ La función $x \mapsto \frac{e^{x(n+1)}}{1-e^x}$ es creciente para todos $n\in\mathbb{N}$ y para todos $x\in(-\infty,0)$ y tiene un máximo para $x_n=\log\left(\frac{1}{n}+1\right)>0$ para todos $n\in\mathbb{N}$ así que $$\sup_{x\in(-\infty,0)} \left\{\frac{e^{x(n+1)}}{1-e^x}\right\}=\lim_{x \to 0^-} \frac{e^{x(n+1)}}{1-e^x}=\infty$$ Aquí viene mi duda: acabar con el estudio de la convergencia uniforme en $(-\infty,0)$ ahora tengo que tomar el límite como $n\to\infty$ de este supremum, pero el supremum ya es $\infty$ . Intuitivamente, diría que el límite del supremum es de nuevo $\infty$ por lo que la serie de funciones no es uniformemente convergente a $S$ en $(-\infty,0)$ pero no estoy seguro de que sea un razonamiento correcto y además, aunque lo fuera, me gustaría entender rigurosamente qué significa evaluar un límite de un supremo en el caso de que el supremo sea $\infty$ . ¿Está esto relacionado con el álgebra en $\mathbb{R} \cup \{-\infty,\infty\}$ y así puedo tratar $\infty$ como un número aquí o es otra cosa?

Así que la pregunta es, ¿cuál es el razonamiento correcto en un caso como éste en el que debo tomar el límite de un supremum que ya está $\infty$ ? Gracias.

Para concluir el ejercicio: en su lugar, para cada $a>0$ la convergencia es uniforme en $(-\infty,-a]$ porque por el mismo razonamiento es

$$\sup_{x\in(-\infty,-a]} \left|S_n(x)-S(x)\right|= \left[\frac{e^{x(n+1)}}{1-e^x}\right]_{x=-a}=\frac{e^{-a(n+1)}}{1-e^{-a}} \to 0 \ \text{when} \ n \to \infty$$

Answer 1

Tenemos convergencia uniforme si para cualquier $\epsilon > 0$ existe un número entero positivo $N$ tal que $\left|\sum_{k = n+1}^\infty e^{kx} \right|< \epsilon $ para todos $n \geqslant N$ y para todos $x \in (-\infty,0)$ . Esto es cierto si y sólo si existe $N$ tal que para todo $n \geqslant N$ ,

$$\tag{#}\sup_{x \in (-\infty,0)}\left|\sum_{k = n+1}^\infty e^{kx} \right|\leqslant \epsilon$$

Si para cualquier $N$ podemos encontrar $n > N$ tal que (#) no se cumple, entonces la convergencia no es uniforme. Has demostrado una condición aún más fuerte que implica una convergencia no uniforme. Es decir, el supremum es infinito para cada entero positivo $n$ . No hace falta decir nada sobre un límite, aunque argumentar en ese sentido no es incorrecto.

Alternativamente, si no se siente cómodo con el concepto de tomar el límite de una secuencia en la que cada término es infinito, podría proceder con

$$\sup_{x \in (-\infty,0)}\left|\sum_{k = n+1}^\infty e^{kx} \right| =\sup_{x \in (-\infty,0)}\sum_{k = n+1}^\infty e^{kx}\geqslant \sup_{x \in (-\infty,0)}\sum_{k = n+1}^{2n} e^{kx} \geqslant \sup_{x \in (-\infty,0)}n \cdot e^{2nx} \geqslant n \cdot e^{2n\cdot\frac{1}{n}}= ne^2,$$

Ahora el límite del lado derecho y, en consecuencia, del lado izquierdo debe ser $+\infty$ .