Tengo problemas para entender la demostración del teorema del valor intermedio de las derivadas. Aquí está el thereom de Rudin:
Supongamos que $f$ es una función real diferenciable en $[a,b]$ y supongamos $f'(x) < \lambda < f'(b)$ . Entonces hay un punto $x \in (a,b)$ tal que $f'(x) = \lambda$ .
Prueba: Ponga $g(t) =f(t) - \lambda t$ . Entonces $g'(a) < 0$ de modo que $g(t_1) < g(a)$ para algunos $t_1 \in (a, b)$ y $g'(b) > 0$ de modo que $g(t_2) < g(b)$ para algunos $t_2 \in (a, b)$ . Por lo tanto $g$ alcanza su mínimo el $[a, b]$ (Teorema 4.16) en algún punto $x$ tal que $a < x < b$ . Por el teorema 5.8, $g'(x) = 0$ . Por lo tanto $f '(x) = \lambda$ .
No entiendo cómo $g'(a) < 0$ implica $g(t_1) < g(a)$ para algunos $t_1 \in (a, b)$ . Lo mismo para $t_2$ . ¿Alguna ayuda, por favor?
