Raíces de $(x-\lfloor x\rfloor)^2+(x-\lfloor x\rfloor)\left\lfloor{1\over x -\lfloor x\rfloor}\right\rfloor=1$

Question

¿Pueden ayudarme a encontrar -algunas raíces analíticas- de la siguiente función? Sé que $\sqrt2$ es una raíz y creo que hay infinitas raíces, según el gráfico proporcionado por WolframAlpha.

$$ (x-\lfloor x\rfloor)^2+(x-\lfloor x\rfloor)\left\lfloor{1\over x -\lfloor x\rfloor}\right\rfloor=1 $$

He probado Matlab y WolframAlpha para raíces.Matlab da código de error

"Advertencia: No se ha podido encontrar una solución explícita. Para las opciones, consulte la ayuda".

Pero no confío en mis conocimientos sobre Matlab.

WolframAlpha da esto

$x 4.94605856546361519886814090×10^-17$

$x 0.0119030752000093205127913177$

$x 0.0232432500308837633008456147$

etc... Para más información, pulse aquí%5E2%2B((x-floor(x)))*(floor(1%2F(x-floor(x))))-1%20roots)

Pero creo que son aproximaciones, más que raíces exactas. Y si encuentras alguna,puedes darme algunas propiedades sobre ella.Asumo que las raices tienen que ser irracionales.

Gracias

Answer 1

Sea $u = x-\lfloor x \rfloor$ . Entonces querrá encontrar las soluciones a $$u^2+u\left\lfloor\frac{1}{u}\right\rfloor -1 = 0$$

La gama de $u$ es $[0, 1)$ . En este intervalo $y = u\left\lfloor\frac{1}{u}\right\rfloor$ es una cantidad infinita de segmentos de recta con la ecuación $y=nu$ donde $n$ abarca todos los números enteros positivos y $\frac{1}{n+1} < u \le \frac{1}{n}$ . Esto puede verse observando que si $\frac{1}{n+1} < u \le \frac{1}{n}$ entonces $n \le \frac{1}{u} < n+1$ . Esto significa que queremos encontrar las soluciones a $$u^2 + nu-1 = 0$$

Se trata de una cuadrática simple en $u$ dado $n$ . Resolviendo la cuadrática encuentra $$u = \frac{-n \pm \sqrt{n^2+4}}{2}$$ Desde $u \ge 0$ debe cumplirse, $$u = \frac{-n + \sqrt{n^2+4}}{2}$$

Por último, debe satisfacerse otra desigualdad: $\frac{1}{n+1} < u = \frac{-n + \sqrt{n^2+4}}{2} \le \frac{1}{n}$ . Esto puede simplificarse a las dos desigualdades $$(n+1)(-n+\sqrt{n^2+4})-2 > 0$$ $$n(-n+\sqrt{n^2+4})-2 \le 0$$ Mediante manipulación algebraica, se encuentra que para que la primera desigualdad sea cierta, $n$ debe ser positivo, lo que siempre se cumple. Para que la segunda desigualdad sea cierta, $n$ puede ser cualquier número real. Puesto que ambos se satisfacen dado que $n$ es un número entero positivo, hemos encontrado todos los $u$ .

El conjunto completo de soluciones para $x$ se obtiene sumando cualquier número entero a $u$ Así que $$x = m+\frac{-n + \sqrt{n^2+4}}{2}$$ donde $m$ es cualquier número entero, y $n$ es cualquier número entero positivo.

Answer 2

Vea esto:

Una más sencilla:

Definición: $\lfloor x \rfloor= n;~ \mbox{if}~~ n \le x < n+1. ~ \mbox{where,}~ x \in R,~~n \in \mathbf{Z}.$

Escribamos $x$ como,

$x=\lfloor x \rfloor +\{x\}=n+r.~~$ donde, $ r \in [0,1). $

Ahora la Ec. original se convierte en:

$\Rightarrow r^2+ r \lfloor \frac{1}{r} \rfloor-1=0; ~ \mbox{Let} \lfloor \frac{1}{r} \rfloor = m, ~~\mbox{if} ~m \le \frac{1}{r} < m+1;~\frac{1}{r} \in (1,\infty] \rightarrow m \in \mathbf{Z^*} $

$\Rightarrow r^2+ m r-1=0 \Rightarrow r= \frac{-m \pm \sqrt{m^2+4}}{2}$

Desde $r \ge0$ ; así que sólo tenemos: $~~r= \frac{-m + \sqrt{m^2+4}}{2}$

Por lo tanto, la solución es:

$x = n+r= n+\frac{-m + \sqrt{m^2+4}}{2}; ~~\mbox{where,} n \in \mathbf{Z}, ~~ m \in \mathbf{Z^*} $