El producto de las distribuciones marginales se define en $\{0,1,2\} \times \{0,1\}$ . Puede conectar cualquiera de los $6$ pares posibles, y sacar un número distinto de cero.
Sin embargo, la densidad conjunta se define en un espacio más pequeño: $$ \{0,0\} \cup \{1,1\} \cup \{2, 0\}. $$
Para refutar la independencia, tome cualquier $(w,t)$ par que no esté en el anterior, y conéctelo a $P(W,T)$ et $P(W)P(T)$ . Usted verá que, para ese par en particular: $$ P(W,T) = 0 \neq P(W)P(T). $$
Alternativamente, como se trata de un espacio pequeño, se puede seguir adelante y calcular todas las probabilidades y comprobar todos los pares posibles.