Demuestra que la suma y la diferencia absoluta de 2 variables aleatorias Bernoulli(0.5) no son independientes

Question

Sea $X$ et $Y$ ser independiente $Bernoulli(0.5)$ variables aleatorias. Sea $W = X + Y$ et $T = |X - Y|$ . Demuestre que $W$ et $T$ no son independientes.

Sé que tengo que demostrar que $P(W, T)$ no es igual a $P(W)P(T)$ pero encontrar la distribución conjunta es difícil. Por favor, ayuda.

Answer 1

Cuando T = 0, W = 0 ó 2; cuando T = 1 entonces W = 1. Por tanto, T y W no son independientes. Véase Independencia de $X+Y$ et $X-Y$

Answer 2

El producto de las distribuciones marginales se define en $\{0,1,2\} \times \{0,1\}$ . Puede conectar cualquiera de los $6$ pares posibles, y sacar un número distinto de cero.

Sin embargo, la densidad conjunta se define en un espacio más pequeño: $$\{0,0\} \cup \{1,1\} \cup \{2, 0\}.$$

Para refutar la independencia, tome cualquier $(w,t)$ par que no esté en el anterior, y conéctelo a $P(W,T)$ et $P(W)P(T)$ . Usted verá que, para ese par en particular: $$P(W,T) = 0 \neq P(W)P(T).$$

Alternativamente, como se trata de un espacio pequeño, se puede seguir adelante y calcular todas las probabilidades y comprobar todos los pares posibles.