Acordes sobre un círculo

Question

Si hay N puntos en una circunferencia y se traza una cuerda entre cada uno de ellos ¿en cuántas regiones se subdivide el círculo?

No sé muy bien por dónde empezar. Sé que hay al menos n secciones para n puntos de una cuerda, porque si conectas cada punto del círculo con su punto adyacente, se forman n secciones. Sin embargo, lo que ocurre en el medio parece realmente arbitrario. ¿Hay alguna buena manera de abordar este problema?

Gracias

Answer 1

Supongamos que no hay tres rectas que se crucen en el mismo punto.

Considera lo que ocurre cada vez que añades una línea entre dos puntos. Si cruza $k$ otras líneas, se divide $k+1$ regiones en dos, añadiendo así $k+1$ regiones. Por lo tanto, cuando se añade una línea, se puede considerar que se está añadiendo $1$ para la línea y $1$ para cada punto de intersección:

$\hspace{4.5cm}$ $$ \text{Regions Split by a Line}\atop\text{Each Region is Paired with a Line or Point of Intersection} $$ Por lo tanto, sólo tenemos que contar $1$ para la región original dentro del círculo, y añade el número de líneas, $\binom{N}{2}$ y el número de intersecciones, $\binom{N}{4}$ .

Así, hay $\binom{N}{4}+\binom{N}{2}+\binom{N}{0}$ regiones.

Contar líneas y sus intersecciones

Tenga en cuenta que $N$ puntos del círculo, cada par de puntos da una recta, por lo que el número de rectas que unen los puntos es $\binom{N}{2}$ . Para cada conjunto de $4$ puntos, hay una única intersección de dos líneas, una disposición "X en un cuadrilátero". Por lo tanto, el número de intersecciones de líneas interiores es $\binom{N}{4}$ .

Non-Sequitur:

Esto se suele poner como ejemplo de lo que ocurre si se intenta adivinar una secuencia a partir de los primeros términos, ya que esta secuencia empieza por $$ 1,2,4,8,16,\dots $$ pero el siguiente término es $31$ .

¿Por qué?

La razón de la similitud inicial de $\binom{n}{4\vphantom{0}}{+}\binom{n}{2\vphantom{0}}{+}\binom{n}{0}$ a la progresión geométrica es que $$ \sum_{k=0}^\infty\binom{n}{k}=(1+1)^n=2^n\tag{1} $$ y $$ \sum_{k=0}^\infty(-1)^k\binom{n}{k}=(1-1)^n=0^n\tag{2} $$ Para $n>0$ añadiendo $(1)$ et $(2)$ y dividiendo por $2$ da $$ \sum_{k=0}^\infty\binom{n}{2k}=2^{n-1}\tag{3} $$ $\binom{n}{4\vphantom{0}}{+}\binom{n}{2\vphantom{0}}{+}\binom{n}{0}$ son los tres primeros términos de $(3)$ . La primera vez que un término distinto de cero queda fuera de $(3)$ es cuando $n=6$ y es entonces cuando $\binom{n}{4\vphantom{0}}{+}\binom{n}{2\vphantom{0}}{+}\binom{n}{0}=31$ .

Answer 2

http://mathworld.wolfram.com/CircleDivisionbyChords.html