$SO(3)$ , $SU(2)$ y simetrías en mecánica cuántica

Question

Una rotación en el espacio vectorial $\mathbb{R}^3$ está representada por las conocidas matrices 3x3.

Pero en este punto estoy realmente confundido sobre cómo llegar de ahí a la Mecánica Cuántica. El grupo de $\mathrm{SO}(3)$ contiene todas estas matrices, pero la representación del operador de rotación es un $(2j+1)\times(2j+1)$ matriz. ¿Podría alguien decir algo al respecto?

Y también estoy confundido ¿cuál es la diferencia entre $\mathrm{SO}(3)$ et $\mathrm{SU}(2)$ . (en grupos la diferencia es clara, pero ambos aplican rotaciones a nuestros kets )

Answer 1

No es tan difícil ver cómo una rotación puede acabar siendo representada por una matriz de dimensión $(2j+1)\times(2j+1)$ . El concepto clave es que esta matriz actúa sobre un subespacio $V$ del espacio de Hilbert $\mathcal H$ Eso es, $V$ contiene vectores de estado (kets). Generalmente, $V$ debe ser un subespacio invariante en el sentido de que si $v\in V$ entonces bajo una rotación $v$ en general irá a algún vector diferente $v'$ pero permanecerá en $V$ .

La forma más fácil de ver esto es a modo de ejemplo, así que permítanme mostrar cómo funciona para $j=2$ . En general, hay muchas realizaciones posibles de $V$ pero la realización más limpia es como el espacio vectorial de funciones $f:\mathbb R^3\to \mathbb C$ que son polinomios homogéneos de grado 2, y que son "sin traza" en el sentido de que $$ ⟨f⟩=\int_{S^2} f(\hat{\mathbf{r}})\,\mathrm d \Omega=0.\tag1 $$ Este espacio vectorial se analiza mejor en una base conveniente, y la más limpia es $$ B=\{x^2+y^2-2z^2, xz, yz, xy, x^2-y^2\}. $$ Es bastante fácil ver que $V$ es cerrado bajo rotaciones, porque cada componente vectorial entrará en una combinación lineal de $x,y$ et $z$ y multiplicando dos combinaciones cualesquiera se obtiene de nuevo un polinomio homogéneo. Las rotaciones tampoco afectarán a la condición de no trazabilidad (1).

Para calcular el efecto de una rotación $R\in\mathrm{SO}(3)$ simplemente se toma un $f\in V$ a la función $G(R)f\in V$ que viene dado por $$(G(R)f)(\mathbf r)=f(R^{-1}\mathbf r).$$ (La razón de la inversa es para que los operadores $G(R)$ tienen la agradable propiedad de que $G(R_1\circ R_2)=G(R_1)\circ G(R_2)$ de modo que $G$ es un homomorfismo entre $\mathrm{SO}(3)$ y el grupo de transformaciones unitarias sobre $V$ , $\mathrm{U}(V)$ .)

Para cualquier $R$ , $G(R)$ es una transformación geométrica, pero también es, a un nivel más simple, una transformación lineal en un espacio vectorial de dimensión finita $V$ con base $B$ por lo que se puede representar simplemente por su matriz con respecto a esta base. Así, por ejemplo, una rotación de 90° sobre la base $+x$ estaría representado por la matriz $$ \begin{pmatrix} -\tfrac12&0&0&0&\tfrac12\\ 0&0&0&-1&0\\ 0&0&-1&0&0\\ 0&1&0&0&0\\ \tfrac32&0&0&0&\tfrac12\\ \end{pmatrix}. $$ (¡Resuélvelo!)

Los demás han dado más detalles sobre cómo funciona esto matemáticamente - la función $G$ siendo un representación del grupo $\mathrm{SO}(3)$ - pero creo que ejemplos de este tipo ayudan mucho a visualizar lo que está pasando.

Answer 2

La representación del abstracto Grupo de Lie $\mathrm{SO}(3)$ en el espacio habitual $\mathbb{R}^3$ se conoce como representación fundamental del grupo. En la mecánica clásica no suele haber otras representaciones porque en la mayoría de los casos sólo tenemos $\mathbb{R}^{3N}$ como el espacio de coordenadas espaciales para $N$ objetos sobre los que actúan las rotaciones. Las rotaciones deben actuar sobre su "espacio de estados clásicos", pero está claro que las coordenadas espaciales ordinarias siempre se transformarán en esta representación fundamental.

En la mecánica cuántica, las transformaciones/simetrías como las rotaciones tienen que implementarse (es decir, representarse) sobre el espacio de estados de la teoría, que es esencialmente la espacio proyectivo de Hilbert asociado a un sistema cuántico tomando el espacio de Hilbert abarcado por todos los estados independientes y proyectándolo.

Así, cualquier espacio de Hilbert mecánico cuántico debe llevar un unitario representación proyectiva de $\mathrm{SO}(3)$ para que podamos "medir" el momento angular, ya que el momento angular genera las rotaciones - los operadores del momento angular se encuentran en el Álgebra de Lie $\mathfrak{so}(3) \cong \mathfrak{su}(2)$ y toda representación lineal del álgebra de Lie induce una representación lineal de la cubierta universal del grupo de Lie, que están en biyección con representaciones proyectivas del grupo o grupos cubiertos por él.

Por lo tanto, para encontrar todas las posibles representaciones proyectivas de las rotaciones, buscamos todas las representaciones lineales de su cubierta universal, que es la cubierta (doble) $\mathrm{SU}(2)$ . Clasificando todas las representaciones posibles de este tipo, se encuentra (por ejemplo, observando los módulos de Verma) que todas estas representaciones unitarias ya se describen completamente dando el valor de la expectativa del Operador de Casimir $\vec L^2$ comúnmente escrito $l(l+1), l \in \mathbb{Z} \vee l \in \mathbb{Z}+\frac{1}{2}$ y el espacio de representación asociado tiene dimensión $2l+1$ . 1

De ellos, sólo los que tienen $l$ son representaciones lineales propias de $\mathrm{SO}(3)$ mientras que los semienteros asignan una "rotación" por $2\pi$ a una reflexión, pero como eso es sólo una fase global, todas ellas son representaciones proyectivas de las rotaciones. $l$ es también el momento angular total de un estado en dicha representación.

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1 Estos son sólo los representaciones irreducibles pero cualquier otra representación puede construirse a partir de ellos. La base comúnmente presentada para estos espacios son los vectores propios de $L_z$ con valores propios en $\{-l,-l+1,\dots,l-1,l\}$

Answer 3

$SO(3)$ es de 2 conexiones y resulta que $SU(2)$ es su grupo de cobertura universal (simplemente conexo). Dado que existe un homomorfismo de cobertura $\gamma:SU(2)\to SO(3)$ que es un isomorfismo local, se pueden considerar entonces (como consecuencia del teorema de Peter-Weyl) las representaciones irreducibles de $SU(2)$ . Éstos pueden parametrizarse mediante los puntos del espectro del operador Casimir, que generalmente se interpreta (hasta la renormalización) con el espín $j$ (en realidad $j(j+1)$ pero en realidad no hace ninguna diferencia, ya que es posible recuperarlo. $j$ ). Se observa entonces que los elementos de los espacios de representación se transforman según algunas reglas de transformación bien conocidas: para $j=0$ todo es invariante a la izquierda, por lo que los elementos de este espacio vectorial (trivialmente $\mathbb C$ ) se comportan como escalares . Elementos del espacio de representación de $j=1/2$ se comportan como espinores (no vuelven a sí mismos después de una rotación de $2\pi$ pero llevan una señal). Para $j=1$ se recuperan las matrices de $SO(3)$ por lo que los elementos se interpretan como vectores, y así sucesivamente (cf. Teorema de Wigner-Eckart ).