La representación del abstracto Grupo de Lie $\mathrm{SO}(3)$ en el espacio habitual $\mathbb{R}^3$ se conoce como representación fundamental del grupo. En la mecánica clásica no suele haber otras representaciones porque en la mayoría de los casos sólo tenemos $\mathbb{R}^{3N}$ como el espacio de coordenadas espaciales para $N$ objetos sobre los que actúan las rotaciones. Las rotaciones deben actuar sobre su "espacio de estados clásicos", pero está claro que las coordenadas espaciales ordinarias siempre se transformarán en esta representación fundamental.
En la mecánica cuántica, las transformaciones/simetrías como las rotaciones tienen que implementarse (es decir, representarse) sobre el espacio de estados de la teoría, que es esencialmente la espacio proyectivo de Hilbert asociado a un sistema cuántico tomando el espacio de Hilbert abarcado por todos los estados independientes y proyectándolo.
Así, cualquier espacio de Hilbert mecánico cuántico debe llevar un unitario representación proyectiva de $\mathrm{SO}(3)$ para que podamos "medir" el momento angular, ya que el momento angular genera las rotaciones - los operadores del momento angular se encuentran en el Álgebra de Lie $\mathfrak{so}(3) \cong \mathfrak{su}(2)$ y toda representación lineal del álgebra de Lie induce una representación lineal de la cubierta universal del grupo de Lie, que están en biyección con representaciones proyectivas del grupo o grupos cubiertos por él.
Por lo tanto, para encontrar todas las posibles representaciones proyectivas de las rotaciones, buscamos todas las representaciones lineales de su cubierta universal, que es la cubierta (doble) $\mathrm{SU}(2)$ . Clasificando todas las representaciones posibles de este tipo, se encuentra (por ejemplo, observando los módulos de Verma) que todas estas representaciones unitarias ya se describen completamente dando el valor de la expectativa del Operador de Casimir $\vec L^2$ comúnmente escrito $l(l+1), l \in \mathbb{Z} \vee l \in \mathbb{Z}+\frac{1}{2}$ y el espacio de representación asociado tiene dimensión $2l+1$ . 1
De ellos, sólo los que tienen $l$ son representaciones lineales propias de $\mathrm{SO}(3)$ mientras que los semienteros asignan una "rotación" por $2\pi$ a una reflexión, pero como eso es sólo una fase global, todas ellas son representaciones proyectivas de las rotaciones. $l$ es también el momento angular total de un estado en dicha representación.
1 Estos son sólo los representaciones irreducibles pero cualquier otra representación puede construirse a partir de ellos. La base comúnmente presentada para estos espacios son los vectores propios de $L_z$ con valores propios en $\{-l,-l+1,\dots,l-1,l\}$