Demostrar que dos medidas son iguales hasta la multiplicación escalar.

Question

Me he atascado en la siguiente pregunta y me preguntaba si sería posible obtener ayuda.

Sea $\mu, \nu$ sean dos medidas finitas de Borel sobre un espacio métrico $X$ s.t. $\mu << \nu$ y que $c>0$ y supongamos que $\nu$ se está duplicando y que $$\lim_{r \to 0} \frac{\mu(B_r(x))}{\nu(B_r(x))} = c$$ para $\nu$ casi todos $x\in X$ . Utilizando el teorema de cobertura de Vitali para demostrar que $\mu = c\nu$ . (Suponemos que las bolas están cerradas)

He sido capaz de demostrar esto usando Radon-Nikodym combinado con el teorema de diferenciación de Lebesgue pero deseo demostrarlo únicamente usando el teorema de cobertura de Vital pero no he tenido éxito ni siquiera en encontrar una cobertura de Vitali apropiada.

Teorema (Teorema de cobertura de Vitali)
Sea X un espacio métrico y sea $\nu$ sea una medida de duplicación en $X$ y que $\mathcal{B}$ sea una cubierta de Vitali para $S \subset X$ entonces existe un $\mathcal{B}' \subset \mathcal{B}$ tal que todos los elementos de $\mathcal{B}'$ son disjuntos y $$\nu \bigg(S \setminus \bigcup_{B' \in \mathcal{B}'}B'\bigg)=0$$

Definición (Portada de Vitali)
Sea $S \subset X$ entonces $\mathcal{B}$ una colección de bolas cerradas tal que $\forall \epsilon >0 , \forall x \in S$ existe $B \in \mathcal{B}$ tal que $x \in B$ y $\rm{rad}(B) < \epsilon$ entonces llamamos a $\mathcal{B}$ una funda Vitali para S.

Muchas gracias.

Answer 1

Es útil saber que las medidas de Borel finitas sobre un espacio métrico $X$ son regulares. En particular, si $E \subset X$ es un conjunto de Borel, $\mu$ es una medida finita de Borel, y $\epsilon > 0$ entonces existe un conjunto abierto $G \supset E$ avec $\mu(G) < \mu(E) + \epsilon$ .

Supongamos que las condiciones establecidas para $\mu$ y $\nu$ (y en particular $\nu(B(x,r)) > 0$ para todos $x \in X$ y $r > 0$ ).

Sea $E \subset X$ sea un conjunto de Borel. Fijamos una constante $t > 1$ .

Por cada $x \in E$ existe $r_x > 0$ con la propiedad de que $0 < r < r_x$ implica $$\frac ct < \frac{\mu(B(x,r))}{\nu(B(x,r))} < ct,$$ que puede expresarse como $$0 < r < r_x \implies \frac ct \nu(B(x,r)) \le \mu(B(x,r)) \le ct \nu(B(x,r)).$$

Sea $\epsilon > 0$ y que $G \supset E$ sea un conjunto abierto con $\nu(G) < \nu(E) + \epsilon$ . Definir una cubierta Vitali ${\cal V}$ de $E$ por $$ {\cal V} = \{B(x,r) : x \in E,\ 0 < r < r_x,\ B(x,r) \subset G\}.$$ Según el teorema de cobertura de Vitali existe una subfamilia disjunta contable ${\cal V}'$ de $\cal V$ satisfaciendo $$\mu(E) \le \mu \left( E \setminus \bigcup_{B \in {\cal V}'} B \right) + \mu \left(\bigcup_{B \in {\cal V}'} B \right) \le \sum_{B \in {\cal V}'} \mu(B) \le ct\sum_{B \in {\cal V}'} \nu(B)$$ Dado que la familia ${\cal V}'$ es disjunta por pares y cada $B \in {\cal V}'$ es un subconjunto de $G$ tienes además que $$\sum_{B \in {\cal V}'} \nu(B) \le \nu(G) <\nu(E) + \epsilon.$$ Así $\mu(E) < ct(\nu(E) + \epsilon)$ y dejando que $\epsilon \to 0^+$ obtienes $$\mu(E) \le ct \nu(E).$$

Ahora dejemos que $\epsilon > 0$ y que $H \supset E$ sea un conjunto abierto con $\mu(H) < \mu(E) + \epsilon$ . Repita los pasos anteriores para encontrar que $$\frac ct \nu(E) \le \mu(E)$$ y concluye $$\frac ct \nu (E) \le \mu(E) \le ct \nu(E).$$ Por último $t \to 1^+$ .

Answer 2

Demostremos que para cualquier $\mu$ y $\nu$ medible $S$ en $X$ tenemos $\mu(S) = c\nu(S).$ Sea $0 < \epsilon < 1.$

Para $\mu$ -a.e. $x \in S$ existe $r_1(x) > 0 $ tal que para todo $r < r_1(x).$

\begin{equation} \mu(S \cap B(x,r)) \geq (1- \epsilon)\mu(B(x,r)). \tag{1} \end{equation}

Para $\nu$ -a.e. $x \in S$ existe $r_2(x) > 0$ tal que para todo $r < r_2(x)$ tenemos

\begin{equation} \nu(S \cap B(x,r)) \geq (1- \epsilon)\nu(B(x,r)). \tag{2} \end{equation}

Obsérvese que (1) y (2) provienen del teorema de la densidad de Lebesgue que podemos aplicar ya que $\mu$ y $\nu$ son medidas de duplicación finitas. Finalmente para $\nu$ -a.e. $x \in X$ existe $r_3(x) > 0$ tal que para todo $r < r_3(x)$ tenemos

$$\frac{c}{1 + \epsilon}\nu(B(x,r)) \leq \mu(B(x,r)) \leq c(1 + \epsilon) \nu(B(x,r)) \tag{3}.$$

Sea $R(x) = \min(r_1(x), r_2(x), r_3(x))$ y que

$$\mathcal{B} = \{B(x,r) \mid r < R(x), B(x,r) \ \text{satisfies (1) (2) and (3)}\}.$$

Se trata de una cubierta (a.e.) Vitali de $S,$ por lo que podemos aplicar el teorema de cobertura de Vitali para obtener un subconjunto disjunto $\{B_1, B_2,...\}$ tal que

$$\nu\bigg(S\setminus \bigcup_{i=1}^\infty B_i\bigg) = 0 = \mu\bigg(S\setminus \bigcup_{i=1}^\infty B_i\bigg),$$

y la segunda desigualdad se deduce de $\mu \ll \nu.$ Desde $S$ es medible deducimos que

$$\mu(S) = \mu\bigg(\bigcup_{i=1}^\infty(S\cap B_i)\bigg)$$

et

$$\nu(S) = \nu\bigg(\bigcup_{i=1}^\infty(S\cap B_i)\bigg).$$

Aplicando todo lo anterior tenemos

\begin{align} \mu(S) &= \mu\bigg(\bigcup_{i=1}^\infty(S\cap B_i)\bigg) \\ &= \sum_{i=1}^\infty \mu(S \cap B_i) \\ &\leq \sum_{i=1}^\infty \mu(B_i) \\ &\leq c(1+\epsilon)\sum_{i=1}^\infty \nu(B_i) \\ &\leq \frac{c(1 + \epsilon)}{(1-\epsilon)}\sum_{i=1}^\infty \nu(S \cap B_i) \\ &=\frac{c(1 + \epsilon)}{(1-\epsilon)}\nu\bigg(\bigcup_{i=1}^\infty(S\cap B_i)\bigg)\\ &= \frac{c(1 + \epsilon)}{(1-\epsilon)} \nu(S). \end{align}

Desde $\epsilon$ era arbitraria se deduce que $\mu(S) \leq c\nu(S).$ La desigualdad inversa es prácticamente idéntica, ya que $\mu(S) = c\nu(S).$