Técnicas de integración (Trigo por piezas)

Question

¿Podrían ayudarme con esta cuestión de integración? Adjunto mi intento y me gustaría saber si es correcto. También creo que mi intento es bastante complicado y me gustaría saber si hay otra manera de resolver la pregunta. Gracias.

Hallar la antiderivada :

$$\int {(1+\cot \space x)^2 \csc \space x \space dx}$$

*Corrección: Debería ser sustituir (ii) en (i) en lugar de (iii) en (ii)

Answer 1

$$\int(1+\cot x)^2\csc x\ dx$$

$$=\int\csc\ dx+2\int\csc\cot x\ dx+\int\cot^2x\csc x\ dx$$

Los dos primeros son elementales.

$$\int\cot^2x\csc x\ dx=\int\dfrac{\cos^2x}{\sin^3x}\ dx=\int\dfrac{\cos^2x}{\sin^4x}\sin x dx$$

Establecer $\cos x=u$

Alternativa de integración por partes,

$$\int\cot^2x\csc x\ dx=\int \cos x\dfrac{\cos x}{\sin^3x}\ dx$$

$$=\cos x\int\dfrac{\cos x}{\sin^3x}\ dx-\int\left(\dfrac{d(\cos x)}{dx}\int\dfrac{\cos x}{\sin^3x}\ dx\right)dx$$

$$=-\dfrac{\cos x}{\sin^2x}-\int\dfrac{\sin x}{\sin^2x}\ dx=?$$