¿Qué es el logaritmo de un número de base negativa?

Question

Digamos que tengo $$\log_{-2}x$$ ¿Cómo lo evaluaría? No estoy en contra de resultados o fórmulas complejas, sólo tengo curiosidad.

Editar: Debe haber una respuesta, como $$\log_{-2}4=2$$

Answer 1

Si $a^x=b$ entonces $\log_a(b) = x$ . Además, $\log_a(b) = \frac{\ln(b)}{\ln(a)}$

Pongamos $a=-2$ y ver qué pasa.

$\log_{-2}(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(-2)}$

Sabemos que $\ln(-2) = k$ donde $e^{k}=-2$ . En $e^{i\pi} = -1$ se deduce que $2e^{i\pi} = -2$ . Por lo tanto $\ln(-2) = \ln(2e^{i\pi}) = \ln(2)+i\pi$ .

Ahora tiene una fórmula para $\log_{-2}(x)$ : \begin{align*} \log_{-2}(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(2)+i\pi} \end{align*}

Sin embargo, hay un problema con esto, porque para cualquier $x$ (por ejemplo $x = 4$ ) siempre tendrás un logaritmo complejo. Esto contradice claramente $\log_{-2}(4) = 2$ . Debe haber algo sutil oculto en el hecho de que elegí $\ln(-2) = \ln(2)+i\pi$ cuando en realidad $\ln(-2) = \ln(2)+ni\pi$ para cada número entero impar $n$ .

Answer 2

Sea $$\log_{-2}x = c$$

Entonces $$(-2)^{c} = x$$

$$-2 = x^{\frac{1}{c}}$$

Tenga en cuenta que $e^{i \pi} = -1$

$$\implies 2e^{i\pi} = x^{\frac{1}{c}}$$

$$x = 2^{c}e^{c\cdot i\pi }$$

Así que en tu ejemplo, si nos dan $c=2$ entonces $x = 2^2\cdot e^{2i\pi}= 4(\cos(2\pi) + i\sin(2\pi)) = 4$