Es la diferencia de dos mandatos consecutivos de sumas de números enteros consecutivos (de la misma longitud) siempre cuadrado?

Question

Yo soy un aficionado que ha sido reflexionar sobre la siguiente pregunta. Si hay un nombre para esto o para obtener más información acerca de alguien que ha postulado esto antes, yo estaría interesado acerca de la lectura. Gracias.

Si $x$ es la suma de $y$ enteros, y $z$ es la suma de la próxima $y$ enteros, entonces es siempre cierto que $z$ menos $x$ es igual a $y$ cuadrado? Tal vez sólo a partir de uno.

Por ejemplo:

$y = 3$
$x = (1+2+3) = 6$
$z = (4+5+6) = 15$
$z - x = 9 = y^2$

Brad

Answer 1

Deje que la primera $y$ enteros consecutivos se $m,m+1,\ldots,m+y-1$; luego, en el segundo $y$ enteros se $m+y,m+y+1,\ldots,m+2y-1$. Por lo tanto, si le restamos la primera suma a partir de la segunda, tenemos esto:

$$\begin{array}{ccc} &(m+y)&+&(m+y+1)&+&(m+y+2)&+&\ldots&+&(m+2y-1)\\ (-)&m&+&(m+1)&+&(m+2)&+&\ldots&+&(m+y-1)\\ \hline &y&+&y&+&y&+&\ldots&+&y \end{array}$$

Hay $y$ columnas, por lo que la diferencia es, de hecho,$y\cdot y=y^2$.

Answer 2

Es cierto en general. Para cada una de las $y$ números en el primer grupo de números enteros, el número correspondiente en el segundo racimo se obtiene mediante la adición de $y$ el número en el primer grupo. Hacemos esto $y$ de veces, así que la diferencia es $(y)(y)$.

Answer 3

Sugerencia $\ \ (A_{ 1}\!+\color{#0a0}K) + \cdots +(A_{\color{#c00}{\large N}}\!+\color{#0a0}K)\, =\, (A_1\!+\cdots +A_N)\!\!\!\!\!\!\!\! \underbrace{\, +\ \color{#c00}N\cdot \color{#0a0}K}_{\quad\ \ \ \large =\ \color{#c00}{N^{\Large 2}}\ {\rm if}\ K = N} $

Comentario $\ $ Los términos de $\,A_i\,$ no necesita ser números enteros consecutivos. Más bien, lo que hace que el incremento total $\,NK\,$ plaza es que el término incremento $\,\color{#0a0}K\,$ es igual al número de términos $\,\color{#c00}N$.

Answer 4

Para una prueba algebraica:

En general, tenemos $1+2+\cdots+n=\frac{1}{2}n(n+1)$, por lo que en este caso

$x=\frac{1}{2}n(n+1)$ $y=\frac{1}{2}(2n)(2n+1)-\frac{1}{2}n(n+1)$.

Por lo tanto $y-x=\frac{1}{2}(2n)(2n+1)-n(n+1)=2n^2+n-n^2-n=n^2$ como se desee.

Answer 5

Si se empieza en 1, entonces sí.

La suma de los primeros a $n$ números enteros es $\frac{n(n+1)}{2}$.

Tenga en cuenta que la próxima $n$ enteros son simplemente $n^2 + \frac{n(n+1)}{2}$. Es decir, se puede quitar $n$ a partir de cada una de las siguientes n enteros, y sólo termina con la suma de los primeros a $n$ enteros de nuevo.

Por ejemplo:

$y = 5$

$x = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$

$z = 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1+5) + (2+5) + (3+5) + (4+5) + (5+5)$

$ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + (5 + 5 + 5 + 5 + 5) = 15 + 5\times 5 $

Por lo $z-x = (15 + 5\times 5) - 15 = 5\times 5$