¿La intersección de un cono puntiagudo y un hiperplano es un politopo?

Question

Sea $C = \text{cone}(u_1,\dots,u_m)$ para algunos $u_1,\dots,u_m \in \mathbb{R}^d \setminus \{\textbf{0}\}$ sea un cono apuntado finitamente generado. Sea $H_0 := \{x \in \mathbb{R}^d: \langle a,x \rangle = 0\}$ sea un hiperplano tal que $C \subseteq H_0^\geq$ y $C \cap H_0 = \{\textbf{0}\}$ . Para algunos $\delta > 0$ , dejemos que $H_\delta := \{x \in \mathbb{R}^d: \langle a,x \rangle = \delta \}$ y $C_\infty := C \cap H_\delta$ .

Quiero demostrar que $C_\infty$ es un politopo. Puesto que ambos $C$ y $H_\delta$ podría representarse mediante un sistema de desigualdades, también lo es $C_\infty$ lo que demuestra que es un poliedro. Ahora sólo tengo que demostrar que también está acotado.

Estaba intentando una prueba por contradicción, asumiendo que $C_\infty$ no está acotada, por lo que contiene un rayo $\{x + ty: t \geq 0\}$ para algunos $x \in C_\infty$ y $y \neq \textbf{0}$ (y en particular un punto $q = x + ty, t > 0$ en este rayo). Esto debería conducir a $C \cap H_0$ contiene algo más que $\textbf{0}$ pero hasta ahora no he podido mostrarlo. Sé que $y$ tal y como se ha definido anteriormente debe estar en $H_0$ pero eso no ha servido de nada.

Answer 1

¿Qué te parece esto?

Si $x\in H_\delta\cap C$ entonces $\epsilon x\in H_{\epsilon\delta}\cap C$ para cada $\epsilon>0$ .

Es decir, si para algunos $y\in H_0\setminus\{0\}$ y todos $t\ge 0$ tiene $x+ty\in H_\delta\cap C$ entonces también $\epsilon x + ty\in H_{\epsilon\delta}\cap C$ para todos $t\ge 0$ (el $\epsilon$ en el último trimestre fue absorbido por el $t$ ). Obsérvese que $C$ puede escribirse como la unión

$$C=\bigcup_{\epsilon \ge 0} (H_{\epsilon\delta}\cap C),$$

y así $\epsilon x + t y\in C$ para todos $\epsilon > 0, t \ge 0$ . Pero como $C$ es un conjunto cerrado, con $\epsilon\to 0$ encontramos $yt\in C$ para todos $t\ge 0$ . En particular, para $t>0$ y puesto que $y\in H_0\setminus\{0\}$ encontramos $0\not= yt\in H_0\cap C$ .

Lo fundamental es que $C$ está cerrado, porque la afirmación es errónea para conos abiertos.