$U$ y $V$ son conjuntos abiertos no vacíos disjuntos en un espacio de Hausdorff $X$ .

Question

Si $U$ y $V$ son conjuntos abiertos no vacíos disjuntos en un espacio Hausdorff $X$ entonces podemos afirmar que el cierre de $U$ y el conjunto abierto V también son disjuntos? Creo que esto sería cierto si $X$ era un espacio métrico, pero no veo por qué debería ser cierto en un espacio de Hausdorff. Si no es cierto, ¿qué propiedades adicionales del espacio de Hausdorff desnudo harían posible la conclusión?

Merci.

Answer 1

Creo que la respuesta es afirmativa en cualquier espacio topológico.

Supongamos que $X$ es un espacio topológico y que $U,V\subseteq X$ son abiertos, no vacíos y disjuntos. Queremos demostrar $\overline{U}\cap V = \emptyset$ .

Esto se deduce inmediatamente del hecho de que para $x\in X$ , $x\in \overline{U}$ si para cada conjunto abierto $W\subseteq X$ con $x\in W$ , $W\cap U \neq \emptyset$ .

Para verlo, supongamos que existe un $x\in \overline{U}\cap V$ . Desde $V$ es abierto, y como $x\in \overline{U}$ debemos tener que $U\cap V \neq \emptyset$ lo cual es una contradicción.